42. Решить систему линейных уравнений

а)по формулам Крамера

Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители(ищем по правилу определителя третьего порядка):

 

б) методом Гаусса

Тема 1.3. Метод Гаусса

Метод Гаусса является одним из наиболее эффективных и универсальных методов решения линейных систем. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе система (1.7) приводится к треугольному виду; на втором этапе идет последовательное определение неизвестных из полученной треугольной системы.

Применим данный метод д ля решения системы (1.7).

Пусть в системе (1.7) а ₁₁  не равно 0. Этого можно добиться несколькими способами, в числе которых перестановка уравнений местами, элементарные преобразования над строками. Все преобразования в дальнейшем будем проводить с расширенной матрицей. Нужно исключить все коэффициенты при х₁, т.е. обратить все элементы первого столбца, начиная со второй строки в 0. Разделим первую строку на а ₁₁ , т.е. преобразуем систему в равносильную так, чтобы а ₁₁ =1.

Для определенности, выберем неизвестное х₁ так, чтобы коэффициент при нем не был равен 0.

 

Исключим теперь х₁ из остальных уравнений системы. Будем умножать первую строку расширенной матрицы (1.9)(в нашем случае строка имеет вид- 1.10) последовательно на а₂₁, а₃₁,..., а _n 1 и вычитать соответственно из 2-й, 3-й и т.д. строк и, наконец, из последней строки. Преобразованная расширенная матрица будет соответствовать системе уравнений с n неизвестными:

Применяя предложенным метод исключения теперь ко второй, третьей и т.д. строкам, получаем систему вида

Возможны следующие случаи.

1. Одна из строк расширенной матрицы соответствует уравнению вида: 0+0+0+...+0= b'_r . Причем b'_r не равен 0. В этом случае система несовместна.

2. Последнее уравнение системы имеет вид: a' _nn x_n = b'_n

В этом случае получаем единственное решение.

41. Найти ранг матрицы

Определение

Рангом системы строк называется максимальное количество линейно независимых строк этой системы.

В каждой матрице можно связать два ранга: строчный ранг (ранг системы строк) и столбцовый ранг (ранг системы столбцов).

Теорема

Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.

Рангом матрицы   называется ранг её системы строк или столбцов.

Обозначается 

На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду.

Элементарные преобразования над строками (столбцами) матрицы не меняют её ранга.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Пример

Задание. Найти ранг матрицы 

Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу   к ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:

От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей - две четвертых:

Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей - три третьих:

Меняем местами первую и вторую строчки:

Далее четвертую и первую строки:

Ответ. 

Метод окаймления миноров

Теорема

Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуляминору.

На этой теореме базируется еще один метод нахождения ранга матрицы - метод окаймления миноров. Суть этого метода заключается в нахождении миноров, начиная с низших порядков и двигаясь к более высоким. Если минор  -го порядка не равен нулю, а все миноры  -го равны нулю, то ранг матрицы будет равен   .

Пример

Задание. Найти ранг матрицы   , используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы   . Рассмотрим, например, минор   . расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор   ; рассмотрим еще один минор второго порядка, для этого минор  окаймляем при помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор   , то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор   . Таких миноров два: комбинация третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:

так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор

преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:

И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы   равен двум: 

Ответ.