5.7. Криволинейный интеграл

Пусть , (t[, ] — гладкая кривая L с выбранным направлением (такую линию для краткости будем называть путем) и , – пара функций, непре­рывных на кривой L.

Имеем dx= (t)dt dy= (t)dt

Определение. Под криволинейным интегралом от функции Р(х, у) (Q(х, у)) по кривой L по переменной х(у) понимается интег­рал.

(x,y)dx= (x(t), y(t)) (t) dt

( (x,y)dy= (x(t), y(t)) (t) dt )

Сумму интегралов (x,y)dxи ( (x,y)dy называют криволинейным интегралом (общего вида) и обозначают

(x,y)dx +Q (x,y)dy

В силу предыдущего имеем формулу

(x,y)dx +Q (x,y)dy = P(x(t), y(t)) (t)+Q(x(t),y(t)) (t)]dt.

Из определения криволинейного интеграла непосредственно вы­текают следующие свойства:

1. При изменении направления пути интегрирования криволиней­ный интеграл изменяет свой знак на обратный. Записывается это

так: dх + Qdу = – dx+Qdy ,

где через L^– и L⁺ обозначена линия L при двух ее взаимно противоположных направлениях.

2.Если путь интегрирования L состоит из двух частей: L =

= L₁ + L₂ , то

dх + Qdу = dх + Qdу+ dх + Qdу

Пример 5.9

Вычислить криволинейный интеграл

I = ху dх + х dу,

где точки A(2; 0) и В(–1;3) соединены: 1) прямой АВ; 2) ломаной АСВ.

Решение.

1) Вдоль прямой АВ имеем у = 2 – х, dу = –dх, поэтому

1= 2х(2 – х)–х]dх=

2) Вдоль ломаной АСВ на участке АС имеем у = 0 и ау = 0; на участ­ке СВ имеем х = –1, dх = 0. Поэтому

I= хуdх+хdу + xуdх+хdу = – = –3.

5.8. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Пусть Р = Р(х, у), Q = Q(х, у) — непре­рывные функции в области D. Рассмотрим две произвольные точ­ки A и B этой области. Эти точки можно соединить различными путями (A– начало пути, В – конец пути), лежащими в области D, вдоль которых значения криволинейного интеграла , вообще го­воря, различны. Так, рассмотренный выше пример пока­зывает, что криволинейный интеграл ху dх + х² dу зависит от пути интегрирования, т. е. зависит от вида линии, соединяющей точ­ки A и В. Наоборот, как легко проверить, криволинейный интеграл ху dх + х² dу вдоль тех же линий, что и в указанном примере, соединяющих точки A(2; 0) и В(–1; 3), дает одно и то же значение, рав­ное 3.

Если криволинейный интеграл (1) по любому из путей, лежащих в D и соединяющих ее точки A и В, принимает одно и то же значение, то говорят, что он не зависит от пути интегрирования в D.

В этом случае нет необходимости указывать путь интегрирования, а достаточно отметить лишь его начальную точку А(x₁;y₁) и его конечную точку В(x₂; y₂) пути. Поэтому здесь употребляется обозна­чение

dх + Qdу.

Справедлива следующая теорема:

Теорема. Если в области D выражение Р dх + Q dу является полным дифференциалом некоторой функции и = и(х, у), т. е.

du=Рdх+Qdу ((x; у) DС),

то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирова­ния в области D.

Следствие 1.

dx + Q dy=u(x₂; y₂)–u(x₁;y₁)

(обобщенная формула Ньютона-Лейбница).

Следствие 2. Если выражение есть полный диф­ференциал и путь интегрирования L замкнутый, то dх + Q dу = 0

(кружок при интеграле обозначает интегрирование вдоль замк­нутого пути L).

Пример 5.20

Найти .

Здесь – полный дифференциал, так как .

Имеем .

Поэтому

.

26