Пример 4.14

Вычислить . Имеем: =

, поэтому

= ln|x² –1| + C.

Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрирования пра­вильных дробей.

1. =A ln| x – a |+C

2.

3. I =

При вычислении интеграла I следует различать два основных случая.

а) Квадратный трехчлен является полным квадратом. Тогда интеграл I сводится к уже рассмотренным интегралам в случа­ях 1 и 2.

б) Квадратный трехчлен не является полным квадра­том. Тогда его дополняют до полного квадрата, после чего интеграл I сводится к табличным интегралам.

Пример 4.15

I =

Сделаем подстановку . Тогда: , и

I= =ln(x²–x+1)–

–

Пример 4.16

Сделаем подстановку х– = t. Тогда: х=t+ , dх=dt и

+ =

= .

При вычислении интеграла вида можно также воспользоваться тождеством

.

4.5. Определенный интеграл и его вычисление Формула Ньютона-Лейбница

Если для непрерывной на отрезке [a;b] функции может быть найдена ее первообразная , то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

(x)dx=F(x) =F(b)–F(a).

(4.2)

4.6. Замена переменной в определенном интеграле

При вычислении определенных интегралов часто используется метод подстановки или метод замены переменной интегрирования. Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка . Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , причем то справедлива формула , которая называется формулой замены переменной интегрирования в определенном интеграле.

Отметим, что:

1) функцию следует подбирать так, чтобы, подставив ее вместо х в подынтегральное выражение, получить более простой интеграл;

2) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется ( в отличие от неопределенного интеграла)

3) вместо подстановки x=(t) применяют подстановку t=(x).

4.7. Интегрирование по частям

Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то имеет место формула

Это формула интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример 4.17

.

Пример 4.18

.

Глава 5 функции нескольких переменных

5.1. Определение и основные свойства функций

Нескольких переменных

Поня­тие функции одной переменной не охватывает все зависимости, су­ществующие в природе. Во многих простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин. Например, давление в некоторой точке объема пространства, занятого газом, определяется является функцией четырех переменных: трех координат x, y, z и температуры t. Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных. Так как большинство фактов теории функ­ций нескольких переменных наблюдаются на функциях двух переменных, то ограничимся рассмотрением этих функций.

Переменная называется функцией двух независимых перемен­ных и , если некоторым парам значений и по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Функция двух переменных обозначается так: .

Множество пар значений, которые могут принимать переменные х и у, называется областью определения функции. В случае явного аналитического задания функции область ее определения определяется самой формулой, задающей функцию. Например, 5. Функция z = определена в круге: т. е. в круге, ограниченном окружностью , исключая эту окружность.

Таким образом, областью определения функции двух переменных служит вся плоскость или некоторая ее часть (говорят: область на плоскости — и обозначают D).

Функции двух переменных допускают графическую иллюст­рацию. Графиком функции , определенной на некотором множестве С точек плоскости , называется множество точек пространства, у которых принадлежат D и . В наиболее простых случаях такой график представляет собой неко­торую поверхность.

Графиком функции является плоскость, проходящая через точки (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1) (рис. 4.1).

Рис. 5.1 Рис. 5.2 Рис. 5.3

z = (полусфера, рис. 5.2).

z = х² + у² (параболоид вращения, рис. 5.3).

Функции трех и большего числа переменных не имеют нагляд­ного геометрического представления.