4.3. Замена переменной интегрирования

Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к форме табличного интеграла. Сделаем подстановку , где  (t) — функция, имею­щая непрерывную производную. Тогда:

f(x) =f[(t)], dx= и

Эта формула называется формулой замены, переменной в неопределен­ном интеграле.

Пример 4.5

Интеграл найдем подстановкой . Тогда:

и =2 dt=2e^t +C=2 +C.

Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выраже­ние мы принимаем за новую переменную. Вычисления удобно распо­лагать так, как указано в следующих примерах.

Пример 4.6

.

Пример 4.7

.

Пример 4.8

.

4.4. Интегрирование по частям

Пусть и == u(x) и = (x) – непрерывно дифференцируемые функции. По формуле для дифференциала произведения имеем d(и) = dи + иd, откуда иd = d(и) — du. Интегрируя послед­нее соотношение, получим:

или

(4.1)

(произвольная постоянная интегрирования здесь включена в сла­гаемое ). Это и есть формула интегрирования по частям.

Применение способа интегрирования по частям целесообразно в том случае, когда интеграл в правой части окажется более простым для вычисления, чем исходный интеграл.

Пример 4.9

.

К интегралам, вычисляемым по частям, отно­сятся, например, интегралы вида: , где – многочлен (в частности, степенная функция xⁿ), – одна из следующих функций: , , , , , , , . При этом для интегралов вида , , , за и принимается многочлен P(x), а для интегралов вида , , , , ,

за и принимается , , , , .

Пример 4.10

.

Пример 4.11

= .

Пример 4.12

=

= – = – + С.

Пример 4.13

.

Иногда необходимо повторное интегрирование по частям.

Пример 4.14

=

= .

Задачи для самостоятельного решения

№	Задания	Ответы
1
2		+C
3		+C
4		sin2x + cos2x + C
5
6
7
8		xarccos2x+ +C
9
10		+C
11		(x2–2x+3)ex +C
12		x (ln2x–2lnx+2)+C
13		–

Интегрирование дробно-рациональных функций

Дробно-рациональная функция называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, ниже степени многочлена в знаменателе, и неправильной в противном случае.

Например, дроби , , – правильные,

а дроби , , – неправильные.

При интегрировании неправильной дроби следует предварительно перейти к правильной дроби путем выделения целой части.