Глава 4 элементы интегрального исчисления

3.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Выше было рассмотрено действие – дифферен­цирование: нахождение по заданной функции ее производной. При изучении многих разделов математики, физики возникает обратная задача – отыскание функции по заданной ее производной – интегрирование. Ранее было установлено, что если известен закон s = s(t) прямолинейного движения материальной точки, выражающий зависимость пути s от времени движения t, то скорость точки выражается производной пути по времени: = s^/(t). Обратная задача: известна скорость прямолинейного движения точки = (t) как функция времени. Надо найти закон движения. Ясно, что искомой функцией s = s(t) будет такая, для которой s'(t) = (t).

Определение 3.1. Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции если .

Пример 4.1

Функция является первообразной функции = = так как (х³)' =3x² . Отметим при этом, что вместе с функцией первообразной для является всякая функция , где – произвольное постоянное число (это следует из того, что производная постоянной равна нулю).

Таким образом, если известна какая-нибудь первооб­разная данной функции , то все множество первообразных для исчерпывается функциями . Другими словами, нахождение пер­вообразной для функции возможно лишь с точностью до некоторого постоянного слагаемого.

Определение 2. Выражение F(x) + С, где F(x) — первооб­разная функции и – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается сим­волом , причем называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, знак – знаком интеграла. Таким образом, по опреде­лению, , если .

Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит и неопределенный интеграл. Ответ на этот вопрос дает теорема:

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то на этом отрезке для функции f(x) существует первообразная.

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие два свойства.

1. =f(x) и, значит, d =f (x)dx.

2. , что может быть переписано так:

=F(x) +C.

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Действительно, имеем:

cf(x).

Совершенно так же доказывается свойство 4.

4.Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

4.2. Непосредственное интегрирование по таблице

Таблица содержит фор­мулы, легко проверяемые непосредственным дифференцированием.

Таблица 3.1

1	+С;	7	+ C;
2	+С;	8	;
3	+С;	9	;
4	+С;	10	;
5	+С;	11	;
6	+C;	12	.

Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтег­рального выражения к табличной форме путем преобразований и применения свойств неопределенного интеграла.

Пример 4.2

.

Пример 4.3

+C

Пример 4.4

=

= +C.

Задачи для самостоятельного решения

№	Задания	Ответы
1
2
3
4
5		x2–2x +C
6
7		+C
8
9		4x+ x + +C
10		x + +C