4. Поступательное движение
Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе.
На рисунках 2.1,а и 2.1,б приведены примеры поступательного движения: движение прямоугольника в плоскости чертежа, движение каждой кабины колеса обозрения.
а б
Рисунок 2.1
Рисунок 2.2
Исходя из определения поступательного движения, движение твердого тела может быть задано в векторном виде формулой (рисунок 2.2):
rM=rA ⊕ AM.
В этой формуле AM - вектор постоянный по величине и направлению, поэтому производная от него равна нулю. Для скорости и ускорения произвольной точки M получим:
То есть скорости и ускорения точек твердого тела при поступательном движении равны и одинаково направлены, а траектории при наложении совпадают.
Для определения кинематических характеристик точек тела достаточно знать закон движения одной из них.
5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называют движение, при котором хотя бы две точки тела все время остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения.
2.2.1 Основные формулы для определения параметров вращающегося твердого тела
Рисунок 2.3
Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Одна из этих плоскостей неподвижна, вторая скреплена с твердым телом и поворачивается вместе с ним (рисунок 2.3).
Изменение этого угла с течением времени и есть закон вращательного движения:
φ=φ(t), рад. (2.2)
Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения (ось Oz на рисунке 2.3). Угол измеряется в радианах.
6. Скорости и ускорения точек при вращении тела вокруг неподвижной точки
Скорости точек твердого тела, совершающего сферическое движение, в каждый момент времени определяются как их вращательные скорости при вращении вокруг мгновенной оси Ω (рисунок 3.4). Зная положение мгновенной оси вращения Ω и угловую скорость тела ω, можно определить скорость любой точки тела M как скорость этой точки во вращательном движении вокруг мгновенной оси по известной формуле
ν = ω × r ,
где r - радиус-вектор точки M, проведенный из неподвижной точки O.
Рис. 3.4
Модуль скорости
ν = ωr sin γ = ωhΩ,
где hΩ - расстояние точки от мгновенной оси вращения.
Введем подвижную Oxyz и неподвижную Ox1y1z1 системы координат аналогично рисунку 3.1.
Для проекций скорости точки на неподвижные и подвижные оси получены формулы Эйлера:
для неподвижной системы координат
для подвижной системы координат
Из формул (4), (5) можно получить уравнения мгновенной оси в неподвижной и подвижной системах координат, положив для точек, лежащих на мгновенной оси, все проекции скорости равными нулю.
Для неподвижной системы координат:
Для подвижной системы координат:
Если положение мгновенной оси Ω уже установлено, то для нахождения угловой скоростиω достаточно знать скорость ν какой-либо точки M, не лежащей на мгновенной оси (рисунок 3.4). Тогда, опустив из этой точки перпендикуляр hΩ на мгновенную ось Ω, получим ν = ω⋅ hΩ , откуда
ω = ν / hΩ.
Рис. 3.5
Для определения ускорения точки твердого тела служит теорема Ривальса: ускорение любой точки твердого тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений
a = aEвр + aΩос (3.8)
где aEвр = ε × r- вращательное ускорение точки,
aΩос = ω × ν- осестремительное ускорение точки.
Модули этих ускорений (рисунок 3.5)
aEвр = hEε и aΩос = hΩω2 (3.9)
где hE - расстояние от точки до оси углового ускорения E,
hΩ - расстояние от точки до мгновенной оси Ω.
Модуль ускорения точки можно найти как диагональ параллелограмма:
При сферическом движении осестремительное ускорение aΩос направлено по перпендикуляру, опущенному из точки на мгновенную ось Ω, а вращательное ускорение aEвр оказывается перпендикулярно плоскости проходящей через вектор углового ускорения ε и радиус-вектор r. Направление вращательного ускорения не совпадает с направлением скорости ν.