2.1 Ойындар теориясы туралы түсінік.

Ойындар теориясы — конфликт жағдайында тиімді стратегиялық шешім қабылдаудың модельдерін зерттейтін математика саласы. Ойын деген сөз процесс мағынасын береді, ал сол процессте өздерінің мүдделерін жүзеге асыру үшін күрес жүргізетін екі немесе одан да көп тарап қатысады. Жеңіске не жеңіліске жеткізетін стратегиялар басқа ойыншылардың әрекеттеріне байланысты болады. Ойындар теориясы басқа қатысушылар туралы жорамалдарға, олардың ресурстары және ықтималды әрекеттеріне негізделе отырып, ең үздік стратегия таңдауға көмектеседі.

Ойындар теориясы 20 ғасырдың 40-жылдары АҚШ математиктері Джон фон Нейман(1903 – 1957) мен Оскар Моргенштерн (1902 – 1977) конкурентті экономикалыққұбылыстарды математикалық жолмен шешу әдісі ретінде қарастырды. Мұндағы негізгі ұғым – ойын, ал оның формальды түрдегі көрінісі – ‘’конфликт’’. Конфликтті дәл сипаттау үшін ойынға кімдер және қанша нысан, қалай қатысатыны, ойынға қатысу ережесі, ойынның мақсаты мен нәтижесі қандай болатындығы, нәтиженің қатынасушылардың әрқайсысына қаншалықты пайдалы болатындығы, т.б. жағдайлар анықталады. Конфликтке қатысушылар коалиция құра алады.

Әрбір ойыншының стратегиясы оның функциясына тәуелді болады. Ойыншы ұтысты көп беретін стратегияны таңдап алады. Ситуацияның өзгеруі әрбір коалицияның өзінің стратегиясының бірін қолдануына байланысты. Конфликттің шешілу нәтижесінде мүдделері ‘’ортақ жақтар мүдделілер коалициясы’’ деп аталады. Олардың мүддесі ситуацияның қайсысы өздеріне қаншалықты тиімді екенін бағалау арқылы анықталады. Бұл тиімділік ұтыс мөлшерін өрнектейтін сан арқылы жиі көрсетіледі. Конфликтке қатысушы коалициялардың санына қарай ойын стратегиялық емес (бір ғана коалиция жағдайы) және стратегиялық ойын (коалиция саны бірден көп болғанда) болып бөлінеді. Конфликттің шешілу нәтижесінде коалициялардың мүдделері ортақ болса, онда ойын ‘’коалициясыз ойын’’ деп аталады. Егер коалициясыз ойынға екі ойыншы қатынасса және олардың ұтыс функцияларының таңбасы кез келген ситуацияда бір-біріне қарама-қарсы болса, онда мұндай ойын aнтагонистік ойын деп аталады. Егер антагонистік ойында екі ойыншының да стратегияларының саны шекті болса, онда бұл ойын матрицалық ойын болып есептеледі.

Шахмат ойыны – коалициясыз ойын. Шахматта ойыншының стратегиясы алдын-ала емес, әрбір жүріс сайын анықталады. Бұл шахматтың (сонымен қатар дойбы, тоғызқұмалақ) позициялық ойынға жататынын көрсетеді. Ойындар теориясында ‘’ықтималдық теориясы’’ жиі пайдаланылады. Ойынды жүргізу үшін әрбір ситуацияға ақпараттық талдау жасаудың маңызы зор болғандықтан, ойындар теориясы ақпарат теориясымен байланысты болады, демек, одан әрі кибернетикамен ұштасады.Қазақстанда

ойындар теориясы бойынша зерттеу жұмыстары 1970 жылдан бастап Қазақстан ҒА-ның Математика және механика институтында және ҚазҰТУ-нде, ҚазҰУ-де жүргізілуде.

Оның теориясының аппараты анықталмаған шарты тиімді шешімдерін таңдауға арналған, қашан толық ақпарат болмаған кезде ол шешім таңдауға қажет болады. Сонымен бірге, әңгіме бірнеше қатысушылар есептері туралы болмақ. Процесс қатысушыларының мақсат сәйкессіздігі олардың қызығушылығы арасында талас туғызады немесе конфликтілік жағдай болады.

Осындай жағдайларды талдау қажеттілігі ойын теориясының пайда боуына әкелді. Ойын теориясы әдістерінің таңдамасы қайталанатын бірнеше әсерлі арнайы конфликтіні жағдайға қолдану тиімдірек. Ойын теориясының мақсаты конфликтіні бірнеше рет қайталайтын қатысушылардың рационалды қимылы, қимыл кепілдемесінің талдамасы болып есептеледі.

Ойын - бұл конфликтілік жағдай модель Нақты конфликтілік жағдайдан ойын анықталған тәртіп бойынша тосылуынан және нақты тартысқа қатысушылар болып, олардың оны қатаң орындауын ерекшелеу керек. Ойынға қатысушылар әрекетінің мүмкін нұсқасын ереже анықтайды, бұл әрекет туралы ақпарат көлемі сол сияқты ойын нәтижесі беріледі.

Конфликтілік жағдай талдауының базасы болып кеңінен таныс спорттық және құмар ойындар (шахмат, дойбы, карта ойындары) есептеледі. Сондықтан ойын теориясында мынадай терминология пайдалынылады.

Ойыншылар - конфликтіге қатысушылар, жеке адамдар, жалпы мақсатты ұжым мүшелері (спорт командалары, жолдастық емес армиялар, бәсекелес фирмалар, мемлекеттер, т.б.) ойыншылар болып табылады.

Ұтыс (ұтылыс, төлем) - конфликт нетижесі. Ойыншылардың мүддесі сандық сипаттауға бейімделеді, демек, ұтыс кейбір сан бойынша анықталады. Ойында екі немесе бірнеше ойыншының мүдделері түйісулері мүмкін. Біршінші жағдайда ойын жұптық болса, келейде көпшілік болады. Алғашқы мазмұндауда тек қана мүмкіндігінше тәжірибелік мәні бар көпшілік ойындар қарастырылады.

«Ойын» және «ойын партиясы» түсініктерін айыра білу керек. Нақты жағдайда ойын деп ойыншылардың тәртібі айқындалатын ереже жиынтығы қарастырылса, ал «ойын партиясында» басынан аяғына дейін нақты түрдегі кейбір ойындарды тарату деп түсіну керек. Бұрын да көрсетілгендей, ойын теориясы конфликіні бірнеше рет қайталаған қатысушылардың рационалды әрекетіне кепілдеме береді.

Бұл мынадай ұйғарымға әкеледік кез келген ойын шексіз партия саны мен көптеген ойын партияларының «орташа» тиімділігі ойыншылардың тиімді мінез-құлқы болып табылады.

Әр партия жүріс тізбегінен тұрады. Ойын теориясында жүріс деп ойын әрекеттері ережелерінен ұсынылғандардың бірін таңдауды және оның жузеге асуын айтамыз. Әрекеттің өзінде стратегия (немесе таза стратегия) және аралас стратегия түсінігі бар.

Ойын ойыншыларға конфликтілік жағдайға рұқсат алу үшін, қандай да болсын стратегияны таңдау жолымен шешуге қатысу керек. Егер әр ойыншының мүмкін стратегия саны ақтық болса, онда ойын да ақтық болады, керісінше жағдайда - ойын аяқталмайды.

Ойындар бір жүрісті және көп жүрісті болады. Бір жүрісті ойында әрбір ойыншы бір жүріс жасайды және онда ойын нәтижесі бірден айқындалады (мысалы, тиында ойнау, жілікте ойнау). Әрбір ойыншыға нәтиже мен қарсылас стратегиялар жиыны мәлім, бұл айқын стратегияда таңдау жүргізеді. Жүрістер жеке және кездейсоқ болуы мүмкін.

Жеке жүріс стратегиялардың бірі ойыншының саналы таңдау нәтижесінде жүзеге асырылады. Мысалы, шахматта әр жүрісте жеке адам жасайды. Бірінші жүрістің ізі - 20, мүмкін стратегиялардың бірінің таңдауы, соның арасында 16 жүріс пешкамен және 4 журіс аттармен.

Кездей-соқ жүріс ойыншымен емес, кейбір кездейсоқтық ретте асырылады. Жеке немесе тек кездейсоқ ойындардан басқа да ойындар бар. Ойын теориясы тек қана жеке жүрістен тұратын ойындарға талдау жасаумен айналысады (шахмат, дойбы, т.б.), солармен қатар кездейсоқ ойындар (кейбір карта ойындары). Кейбір ойындар тек кездейсоқ жүрістерді (құмарлық ойындар, яғни сүйек ойыны, ақшалай ойын, т.б.) құрайды және ойын теориясында бұлар үйретілмейді.

Ойыншылардың ақпараттану дәрежесіне байланысты, ойынның даму процесс туралы ойынның толық және толық емес мәліметі ажыратылады. Егер ойында бірнеше жүрісті бірдей уақытта жасауға болмаса және әр ойыншы жеке өз жүрісінде алдыңғы жүрістерінде жасаған, кездейсоқты да қосқанда, таңдауды білсе, онда мұндай ойын толық мәліметті ойын деп аталады (шахмат, дойбы ойындары), керісінше жағдайда ойын толық емес мәліметті ойын болады (бұған кейбір карта ойындары жатады, нәтижесі белгісіз, мысалы, қарсылас қолында қандай картаның бар екендігі).

Ойын теориясының әдістері ақырғы бір жүрісті ойынның нөлді қосындысымен екі жақтың ойыны арқылы дамиды, яғни ойыншының ұтыс қосындысы нөлге тең (бір ойыншының ұтыс қосындысы нөлге тең, әр ойыншы басқа ойыншының есебінен ғана ұтысқа жете алады). Мұндай ойындар антагонистикалық деп аталады. Екі адамның нөлдік қосындымен ойынын қарастырамыз. А және Б арқылы қатысушыларды белгілейміз.

Бұл ойынды төлем матрицасы деп аталатын нәрсенің көмегімен сипаттау керек. Бұл матрицаның жолдары А (А₁, А₂,..., А_т) ойыншылардың таза стратегияларымен, ал бағандар-В(В₁,В₂, .....,В_п) ойыншыларының таза стратегияларымен беріледі. a_ij төмен матрицасының элементі ойын нәтижесін анықтайды, ал негізінде, А ойыншысының ұтысы А және Б ойыншыларымен таңдау кезінде А₁(i=1,т) және B(j=1,n) стратегиялары сәйкес. Сонымен, ойыншылардың ұтыстар қосындысы нөлге тең, В ойыншысының төлем матрицасы (-1)-ге көбейтілгенде, А ойыншысының төлем матрицасына тең. Осының күшінде А ойыншысының тек төлем матрицасын зерттеу жеткілікті.

Бұл матрицаның оң элемента А ойыншысының ұтысын және В ойыншысының ұтылысын анықтайды, терісі -А ойыншысының ұтылысы мен В ойыншысының ұтысы болжамдалады, жеке ойыншыға барлық төлем матрицасы белгілі. Төлем матрицасына а_ij элементі ойын нәтижесін анықтайды, соның өзінде А ойыншысы ұтысы, А және В ойыншыларының стратегиясы (қайталанады) А,(і = 1 ,т) жене В (j=1,п) сәйкес.

Екі адамның бір жүрісті ойыны нөлдік қосындымен мына түрде өтеді. А ойыншысы 1-төлем матрицасының жолын (А₁ таза стратегияда) қаласа, В ойыншысы j-матрица бағанын (В_j таза стратегиясын) таңдайды. а_іj - элементті таңдалған жол мен бағанның түйісулерінде тұрып, А ойыншысының ұтысын анықтайды. В ойыншысының ұтысы (-а_іj)-ге тең. Осы ойында А ойыншысы матрицаның сондай жолын таңдайды, мұнда ол өз ұтысын максималдайды, ал В ойыншысы матрица бағанында өз ұтысын минималдайды.

Мысал ретінде, екі жақ ойындардың нөлдік қосындыларын «полковник Блоттоның ойыны» әскери ойын шарттарымен қарау алынады. Екі әскер екі елді мекен үшін күрес жүргізіп жатыр. Полковник Блоттоның әскері (А ойыншысы) төрт құрамадан, қарсылас әскері (В ойыншысы) үшеуден құралған.

Ойын ережесін қалыптастыру қажет. Бір немесе басқа мекенге құраманың әскерін жіберіп алады да, әрбір басып алған мекен немесе қарсылас жойған құрама қарсыластар құрамасын басып алады немесе жойып жібереді. Күштердің тең жағдайында бір немесе басқа мекендерде қарсыластар ұпай алмайды. Жалпы ұтыс екі мекен ұтыс қосындысы сияқты анықталады.

Ойын партиялары өз ішінде әскери қимылдың жеңілдетілген түрін көрсетеді. Әрбір қарсылас өз күшін қалай бөлісуін шешуге тиіс, сондай-ақ максималды ұпай санын ұтуга болады.

Ойыншылар көбірек ұтысқа тырысқан сайын, ұрыс кезінде барлық құраманы пайдалана алады. Демек, полковник Блоттода бес стратегия: (4,0); (0,4); (3,1); (1,3); (2,2), ал қарсыластарда - төрт стратегия: (3,0); (0,3); (2,1); (1,2). Әр стратегияның бірінші саны құрама санды көрсетеді, бірінші мекенге жіберілгендер, екіншісі - екінші пунктке.

Енді кестеде көрсетілген төлем матрицасын құрамыз.

1-кесте

Вj Аі1	3,0	0,3	2,1	1,2
4,0	4	0	2	1
0,4	0	4	1	2
3,1	1	-1	3	0
0,3	-1	1	0	3
2,2	-2	-2	2	2

Төлем матрицасы элементтері бірінің есебін анықтау керек, мысалы а₅₁= -2 (А және В ойыншылары өздерінің А₅ және В₁ таза стратегияларын қолданады). А ойыншысы бірінші мекенге құраманың (екі) кемін, В ойыншы-

дан (3) жібереді.

Ойын ережесіне сейкес, А ойыншысы өзінің барлық құрамаларын және бірінші пунктті жоғалтады, 1 не 2 ұпайға жақын ұтылады. А ойыншысының ұтысы бірінші пункте 3 ұпайды құрайды. А ойыншысы екінші пунктке өзінің екі құрамасын жіберсе, ал В ойыншысы ешкімді де жөнелтпейді. Демек, А ойыншысы екінші мекенді алуға одан ұпайға ғана ұтады. Қорытындыда А ойыншысының ұтысы 2 упайға немесе басқаша, А ойыншысы 2 ұпайға ұтылады, ал В ойыншысы сонша ұпай ұтады.

Ойын шешімі. Ойын теориясының есептері ойын шешімін табуды білдіреді, яғни әр ойыншыға оның ойын бағасы мен тиімді стратегиясын анықтау керек.

Стратегияның тиімді түрі деп ойынның бірнеше қайтара қайталануында ойындар нақ ойыншының максимал мүмкін орта ұтылысын айтамыз (немесе минимал мүмкін орташа ұтылыс), бұл қарсыластың мінез-құлқына тәуелді емес. Ойын бағасы дегеніміз - ұтыс (ұтылыс), ойыншылардың тиімді стратегиясына сәйкес болады.

Стратегияны таңдау түрлі принциптерге негізделуі керек. Ойын теориясында ең жақсысы болып саналатыны - ойыншылардың тәртібі. Мұнда жеке ойыншы шамалағандай, оның қарсыласы ақымақ емес. Осының нәтижесінде ең жақсы стратегия санатында сондай стратегия таңдау ұсынылады. Ең үлкен кепілдемеленген ұтыс, яғни ұтылысты қамтамасыз етеді. Қарсыластың қимылына тәуелсіз және оның қарсыласын ешқандайкемітпейді. Тәуекел элементі, сонымен қатар ойыншылардың жаңылыстары мен қателері есепке алынбайды.

Осы принциптерден шыға отырып, ойыншылардың формальдық әрекетін жазамыз. Егер А ойыншысы і стратегиясын таңдаса, онда оның ұтысы мынаны құрайды:

Min а_іj, мұнда В ойыншының минимумы барлық стратегиялары бойынша алынады (і нөмірімен жолда төлем матрицалары келтірілген). Сонымен, жеке стратегиясында А ойыншысы (матрицаның жеке жолында) кепілдемеленген

ұтысты таңдайды, ол барлық өз стратегияларының арасында соны таңдауы мүмкін, бұлар оған кепілденген максималды ұтысты қамтамасыз етеді.

Ойын теориясының негізін салушы американ математигі Дж. Фон Нейман 1928 ж. Ойын теориясының негізгі теоремасы – минимакс теоремасын дәлелдеп берді. Ойын теориясы 1944 ж. Дж. Фон Нейман және О.Моргенштерннің «Ойын теориясы және экономикалық тәртіп» атты кітабы жарыққа шыққан соң жылдам дами бастайды.

Қазіргі кезде ойын теориясы кеңінен дамыған математикалық пәндердің бір тарауы. Экономикалық жүйелердің модельдерін есептеп шығаратын ойын теориясының әдістері табылады.

Математика жүйелерді емес, ал олардың модельдерін оқытады. Ойын теориясында даулы жағдайлардың модельдері қарастырады. Нақты даулы жағдайлар өте күрделі болады, себебі оларға көп факторлар әсер етеді.

Сондықтан даулы жағдайлардың математикалық талдауы мүмкін болу үшін, негізгі факторларын ғана есепке алатын моделін жасау керек. Мұндай қысқаша модель ойын деп аталады. Сонымен, ойын - даулы жағдайлардың моделі. Нақты даулы жағдайлардан ойынның айырмасы ол белгілі ереже бойынша жүргізіледі және оны қатысушылар мүттіксіз орындайды. Ереже ойынға қатысушылардың әрекеттерінің мүмкін варианттарын және онық қорытындысын анықтайды. Ойын теориясында келесі терминдер қолданылады.

Ойыншылар – дауға қатысушылар. Ұтыс (ұтылыс) – даудың қорытындысы.

Ойында екі және одан көп ойындар болады. Біріншісінде ойын жұп, екіншісінде көптік деп аталады. Ойын теориясындағы жүріс ереже бойынша бір жақтың әрекеті және оның іске асуы әрекеттердің өзі страьегия деп аталады. Даулы жағдайларды шешу үшін ойыншыларға әйтеуір бір стратегияны таңдау кажет. Егер мүмкін стратегия саны ойыншылар үшін аяқталса, онда ойын аяқталған деп, болмаса – шексіз деп аталады.

Ойындар біржүрісті және көпжүрісті болады. Біржүрісті ойында әрбір ойыншы бір-бірден жүреді де оның қорытындысы белгілі болады (мысалы тиын ойнау, ақсүйек).

Жүрістер дербес және кездейсоқ болады. Мысалы шахматта әрбір жүріс дербес болады. Кейбір ойындарда кездейсоқ жүрістер болады. Ойыншылардың информация алуына байланысты ойындар толық және толық емес информациялы болады.