1.1.3. Дискретизация

Процесс дискретизации по времени - это процесс получения мгновенных

значений преобразуемого аналогового сигнала с определенным временным шагом, называемым шагом дискретизации. ( рис. 1.1).

Рис. 1.1 - Дискретизация сигнала по времени

Количество осуществляемых в одну секунду замеров величины сигнала называют частотой дискретизации или частотой выборки, или частотой сэмплирования (от англ. « sampling» – «выборка»). Очевидно, что чем меньше шаг дискретизации, тем выше частота дискретизации (то есть, тем чаще регистрируются значения амплитуды), и, значит, тем более точное представление о сигнале мы получаем. Это рассуждение подтверждается доказанной теоремой, теоремой Котельникова (в зарубежной литературе встречается как теорема Шеннона, Shannon). Согласно этой теореме, аналоговый сигнал с ограниченным спектром может быть точно описан дискретной последовательностью значений его амплитуды, если эти значения следуют с частотой, как минимум вдвое превышающей наивысшую частоту спектра. Иначе говоря, аналоговый сигнал, в котором частота наивысшей составляющей спектра равна Fm, может быть точно описан последовательностью дискретных значений амплитуды, если для частоты дискретизации Fd выполняется:

(1.8)

На практике это означает следующее: для того, чтобы оцифрованный сигнал содержал информацию о всем диапазоне слышимых человеком частот исходного аналогового сигнала (0 – 20 кГц) необходимо, чтобы выбранное значение частоты дискретизации при оцифровке сигнала составляло не менее 40 кГц.

Казалось бы, для завершения процесса оцифровки теперь осталось лишь записать измеренные мгновенные значения амплитуды сигнала в численной форме. Полученная последовательность чисел (по одному результату замера амплитуды сигнала на каждый шаг) и образует цифровую форму исходного аналогового сигнала – так называемый импульсный сигнал. Здесь, однако, обнаруживается основная трудность оцифровки, заключающаяся в невозможности записать измеренные значения сигнала с идеальной точностью. [4]

2. Спектральный анализ

Часто ДПФ применяется для наблюдения и анализа спектра сигнала. При этом обычно наиболее интересными являются лишь амплитуды k C отдельных гармоник, а не их фазы. В этом случае спектр обычно отображается в виде графика зависимости амплитуды от частоты. Часто шкала амплитуд градуируется в децибелах. Децибелы измеряют не сами амплитуды, а их отношения. Например, разница на 20 дБ означает различие амплитуд в 10 раз, разница на 40 дБ означает отношение амплитуд в 100 раз. Различию амплитуд в 2 раза отвечает разница примерно в 6 дБ. Шкала частот также часто градуируется в логарифмическом масштабе. Перед вычислением спектра сигнала нужно выбрать отрезок сигнала, на котором будет вычисляться спектр. Длина отрезка должна быть степенью двойки (для работы БПФ). Иначе сигнал надо дополнить нулями до нужной длины. После этого к выбранному участку сигнала применяют БПФ.

Коэффициенты амплитуд считают по формуле:

(1.9)

При вычислении спектра указанным образом возможен следующий нежелательный эффект. При разложении функции в ряд Фурье мы полагаем,

что функция периодическая, с периодом, равным размеру БПФ. Вычисляется

спектр именно такой функции (а не той, из которой мы извлекли кусок). При

этом на границах периодов такая функция наверняка будет иметь разрывы (ведь исходная функция не была периодической). А разрывы в функции сильно отражаются на ее спектре, искажая его.

Для устранения этого эффекта применяются так называемые взвешивающие окна. Они плавно сводят на нет функцию вблизи краев анализируемого участка. Весовые окна имеют форму, похожую на гауссиан. Выбранный для анализа участок сигнала домножается на весовое окно, которое устраняет разрывы функции при «зацикливании» данного участка сигнала. «Зацикливание» происходит при ДПФ, так как алгоритм ДПФ полагает, что функция периодическая. Существует множество весовых окон, названных в честь их создателей. Все они имеют похожую форму и в значительной степени устраняют рассмотренные искажения спектра. [5]

1.2.1. Наложение спектров (алиасинг)

Что произойдет, если попытаться оцифровать сигнал с недостаточной для него частотой дискретизации (или если спектр сигнала не ограничен)? В этом случае по полученной цифровой выборке нельзя будет верно восстановить исходный сигнал. Восстановленный сигнал будет выглядеть таким образом, как если бы частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, отразились от половины частоты дискретизации, перешли в нижнюю часть спектра и наложились на частоты, уже присутствующие в нижней части спектра. Этот эффект называется наложением спектров или алиасингом (aliasing). Предположим, что мы попытались оцифровать музыку, спектр которой ограничен частотой 20 кГц, но при записи какой-то электроприбор (например, дисплей) сгенерировал сильную помеху с ультразвуковой частотой 39 кГц, которая проникла в аналоговый звуковой сигнал. Оцифровка производится с частотой 44.1 кГц. Предполагается, что звук, лежащий ниже частоты 44.1 кГц/2=22.05кГц будет записан правильно (по теореме Котельникова). Но т.к. помеха лежит выше частоты 22.05 кГц, то возникнет алиасинг, и помеха «отразится» в нижнюю часть спектра, на частоту около 5 кГц. Если мы теперь попробуем пропустить полученный цифровой сигнал через ЦАП и прослушать результат, то мы услышим на фоне музыки помеху на частоте 5 кГц. Таким образом, помеха переместилась из неслышимой ультразвуковой области в слышимую область.

Таким образом, мы видим, что алиасинг – нежелательное явление при дискретизации сигнала. Например, при оцифровке изображения алиасинг может привести к дефектам в изображении, таким как «блочные», «пикселизованные» границы или муар.

Как избежать алиасинга? Первый способ – использовать более высокую частоту дискретизации, чтобы весь спектр записываемого сигнала уместился ниже половины частоты дискретизации. Второй способ – искусственно ограничить спектр сигнала перед оцифровкой. Существуют устройства, называемые фильтрами, которые позволяют изменять спектр сигнала. Например, фильтры высоких частот (ВЧ-фильтры, high-pass filters) пропускают без изменения все частоты, выше заданной, и удаляют из сигнала все частоты, ниже заданной. Эта граничная частота называется частотой среза (cutoff frequency) фильтра. Одно из важных применений ВЧ-фильтров заключается в искусственном ограничении спектра сигнала перед оцифровкой. В этом случае фильтры называются анти-алиасинговыми, т.к. они предотвращают возникновение алиасинга при оцифровке сигнала. Частота среза анти-алиасинговых фильтров устанавливается равной половине частоты дискретизации.[1]

1.2.2. Линейное (однородное) квантование

Предположим, что для записи одного значения амплитуды сигнала в памяти компьютера отводится N бит. Соответственно, с помощью одного N -битного слова (слово – последовательность N бит) можно описать 2 N разных положений. Допустим теперь, что амплитуда оцифровываемого сигнала колеблется в пределах от -1 до 1 некоторых условных единиц. Заметим, что измеренным значениям амплитуды ничто не мешает быть дробными (например, -0.126 или 0.997). Представим этот диапазон изменения амплитуды - динамический диапазон сигнала - в виде 2 N-1 равных промежутков, разделив его на 2 N уровней - квантов (произведя таким образом однородное, линейное разбиение амплитудной шкалы). Теперь, для записи каждого отдельного значения амплитуды, его необходимо округлить до ближайшего уровня квантования. Этот процесс называется квантованием по амплитуде. Говоря более формальным языком, квантование по амплитуде – это процесс замены реальных (измеренных) значений амплитуды сигнала значениями, приближенными с некоторой точностью. Каждый из 2 N возможных уровней называется уровнем квантования, а расстояние между двумя ближайшими уровнями квантования называется шагом квантования. В случае линейного разбиения амплитудной шкалы на уровни, квантование называют линейным (однородным). На рис. 1.2 представлен пример такого квантования

Рис. 1.2 - Квантование сигнала

Как видно, результатом такой оцифровки стал ступенчатый сигнал, составленный из прямоугольников, каждый из которых имеет ширину равную величине шага дискретизации, и высоту равную измеренному значению амплитуды сигнала. [4]

Очевидно, что точность округления зависит от выбранного количества (2 N) уровней квантования, которое, в свою очередь, зависит от количества бит ( N), отведенных для записи значения амплитуды. Чем больше уровней квантования и чем ближе они друг к другу (а, для некоторого фиксированного диапазона изменения амплитуды расстояние между уровнями квантования обратно пропорционально их количеству), тем на меньшую величину приходится округлять измеренные значения амплитуды, и, таким образом, тем меньше получаемая погрешность квантования. Число N называют разрядностью квантования (подразумевая количество разрядов, то есть бит, в каждом слове), а полученные в результате округления значений амплитуды числа – отсчетами или сэмплами (от англ. “ sample” – “замер”). Считается, что погрешность квантования, являющаяся результатом квантования с разрядностью 16 бит, остаются для слушателя почти незаметными.[1]

2. Частота Найквиста

Гармонический сигнал может быть адекватно представлен дискретными отсчета­ми, если его частота не превышает половины частоты дискретизации (эта частота называется частотой Найквиста (Nyquist frequency) ; ). Происхождение этого ограничения поясняет рис. 1.3. В зависимости от соотношения между частотой дискретизируемого гармонического сигнала и частотой Найквиста возможны такие случаи:

а) Если частота гармонического сигнала меньше частоты Найквиста, дискретные отсчеты позволяют правильно восстановить аналоговый сигнал (рис. 1.3).

Рис. 1.3. - Восстановленный сигнал с частотой гармонического сигнала меньшей частоты Найквиста

б) Если частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста, то дискрет­ные отсчеты позволяют восстановить аналоговый гармонический сигнал с той же частотой, но амплитуда и фаза восстановленного сигнала (он показан пунктирной линией) могут быть искажены (рис. 1.4). В худшем случае все дискретные отсчеты синусоиды могут оказаться равными нулю.

Рис. 1.4 - Восстановленный сигнал с частотой гармонического

сигнала равной частоте Найквиста

в) Если частота гармонического сигнала больше частоты Найквиста, восстанов­ленный по дискретным отсчетам аналоговый сигнал (как и в предыдущем слу­чае, он показан пунктирной линией) будет также гармоническим, но с иной частотой (рис. 1.5). Данный эффект носит название появления ложных час­тот (aliasing).

Рис. 1.5 - Восстановленный сигнал с частотой гармонического

сигнала большей частоты Найквиста

Эффекты, связанные с дискретизацией периодических процессов, наглядно проявляются при кино- и видеосъемке вращающихся объектов (таких, например, как колеса автомоби­лей). Из-за недостаточно высокой частоты дискретизации (частоты смены кадров) быстро вращающееся колесо может выглядеть неподвижным либо медленно поворачивающимся (причем в любую сторону). [1]