Введение

В 90-х годах прошлого столетия благодаря большому прогрессу в области обработки звука и компьютерных технологий в наше сознание твердо вошло такое понятие как DSP — Digital Signal Processing (Цифровая Обработка Сигнала). При цифровой обработке сигнала используется представление сигналов в виде последовательностей чисел или символов. Цель такой обработки может заключаться в оценке характерных параметров сигнала или в преобразовании сигнала в форму, которая в некотором смысле более удобная. Формулы классического численного анализа, такие, как формулы для интерполирования, интегрирования и дифференцирования, безусловно являются алгоритмами цифровой обработки. Под цифровой обработкой понимают также обработку одномерных и многомерных массивов данных. Цифровая обработка сигналов работает исключительно с дискретными величинами, причем дискретность проявляется двояко - при квантовании по времени и при квантовании по амплитуде сигнала.

Цифровая обработка сигналов применяется в таких различных областях, как биомедицина, акустика, звуковая локация, связь, системы передачи данных, ядерная техника и многое другое.

В данной курсовой работе будут рассмотрены принципы математического описания и ана­лиза дискретных сигналов, а также обработка сигнала с помощью фильтров.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1. Выполнить дискретизацию сигнала заданного аналитически;

2. Показать на одном графике исходный и дискретный во времени сигнал;

3. Выполнить квантование сигнала для заданного пользователем числа уровней квантования;

4. Показать на одном графике исходный и дискретный во времени сигнал;

5. Выполнить фильтрацию сигнала с помощью фильтра (по варианту);

6. Восстановить во временной области отфильтрованный сигнал;

7. Показать на одном графике исходный, восстановленный и разностный сигнал;

8. Рассчитать ошибку.

Индивидуальное задание:

№	Тип сигнала	Фильтр	Критерий ошибки
2	Последовательность прямоугольных импульсов с периодом 4 мкс и скважностью 3	ФВЧ с частотой среза 300 КГц	Суммарно-квадратичная (SSE)

1. Анализ используемых методов решения задачи

1. Дискретное преобразование Фурье

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Дискретное преобразование Фурье — преобразование конечных последовательностей (комплексных) чисел, которое, как и в непрерывном случае, превращает свёртку в поточечное умножение. Используется в цифровой обработке сигналов и в других ситуациях, где необходимо быстро выполнять свёртку, например, при умножении больших чисел.

Пусть x₀ ,x₁,…,x_n-1 — последовательность комплексных чисел. Рассмотрим многочлен f(t)=x₀+x₁t+x₂t²+…+x_n-1t^n-1. Выберем какие-нибудь n точек на комплексной плоскости z₀, z₁, …,z_n-1 . Теперь многочлену f(t) мы можем сопоставить новый набор из n чисел: f₀:=f(z₀), f₁=f(z₁), f_n-1:=f(z_n-1) . Заметим, что это преобразование обратимо: для любого набора чисел f₀, f₁,…,f_n-1 существует единственный многочлен f(t) степени не выше n − 1 с такими значениями в z₀, z₁, …z_n-1 соответственно. Набор {f_k} и называется дискретным преобразованием Фурье исходного набора {x_k}. В качестве точек z_k обычно выбирают корни n-й степени из единицы: Z_k=e^2Пk/n.

Такой выбор продиктован тем, что в этом случае обратное преобразование принимает простую форму, а также тем, что вычисление преобразования Фурье может быть выполнено особенно быстро. Так, в то время как вычисление свёртки двух последовательностей длины n напрямую требует порядка n² операций, переход к их преобразованию Фурье и обратно по быстрому алгоритму может быть выполнен за O(n logn) операций. Для преобразований Фурье свёртке соответствует покомпонентное умножение, которое требует лишь порядка n операций.[1]

1.1.1. Вычисление ДПФ

Многие сигналы удобно анализировать, раскладывая их на синусоиды (гармоники). Тому есть несколько причин. Например, подобным образом работает человеческое ухо. Оно раскладывает звук на отдельные колебания различных частот. Кроме того, синусоиды являются «собственными функциями» линейных систем (т.к. они проходят через линейные системы, не изменяя формы, а изменяют лишь фазу и амплитуду). Еще одна причина в том, что теорема Котельникова формулируется в терминах спектра сигнала.

Преобразование Фурье (Fourier transform) - это разложение функций на синусоиды (далее косинусные функции мы тоже называем синусоидами, т.к. они отличаются от «настоящих» синусоид только фазой). Существует несколько видов преобразования Фурье:

а) непериодический непрерывный сигнал можно разложить в интеграл Фурье;

б) периодический непрерывный сигнал можно разложить в бесконечный ряд Фурье;

в) непериодический дискретный сигнал можно разложить в интеграл Фурье;

г) периодический дискретный сигнал можно разложить в конечный ряд Фурье;