Нехай маємо скінченну матричну гру з платіжною матрицею
Оптимальні змішані
стратегії гравців А і В за теоремою
визначають вектори
і
,
що дають змогу отримати виграш:
.
Використання оптимальної змішаної стратегії гравцем А має забезпечувати виграш на рівні, не меншому, ніж ціна гри за умови вибору гравцем В будь-яких стратегій. Математично ця умова записується так:
З другого боку, використання оптимальної змішаної стратегії гравцем В має забезпечувати за будь-яких стратегій гравця А програш, що не перевищує ціну гри , тобто:
Ці співвідношення використовуються для знаходження розв’язку гри.
Зауважимо, що в даному разі розраховані оптимальні стратегії завжди є стійкими, тобто якщо один з гравців притримується своєї оптимальної змішаної стратегії, то його виграш залишається незмінним і дорівнює ціні гри незалежно від того, яку із можливих змішаних стратегій вибрав інший гравець.
36.Зведення матричної гри до злп. Зведеня злп до матричної гри.
Якщо гра 2 n або m 2 може бути розв’язана геометрично, то у випадку гри 3 n (m 3) геометрична інтерпретація переходить у простір, що ускладнює як її побудову, так і сприйняття. У випадку ж, коли n > 3, m > 3, геометрична інтерпретація взагалі неможлива. Для розв’язування гри m ? n використовують прийом зведення її до задачі лінійного програмування.
Нехай розглядається
парна гра зі стратегіями
для гравця А та стратегіями
для гравця В і платіжною матрицею
.
Необхідно знайти оптимальні змішані
стратегії
та
,де
.
Знайдемо спочатку оптимальну стратегію гравця А. За основною теоремою теорії ігор така стратегія має забезпечити гравцеві виграш, не менший за ціну гри (поки що невідому величину) , за будь-якої поведінки гравця В.
Допустимо, що
гравець А застосовує свою оптимальну
стратегію, а гравець В — свою «чисту»
j-ту
стратегію Bj,
тоді середній виграш гравця А
дорівнюватиме:
. (11.10)
За цих обставин
виграш має бути не меншим, ніж ціна гри.
Отже, для будь-якого значення j
величина виду (11.10) має бути не меншою,
ніж :
Розділивши всі обмеження на , отримаємо:
Позначивши
маємо:
.
Враховуючи умову,
що
,
отримуємо
.
Необхідно зробити виграш максимальним. Цього можна досягти, коли вираз набуватиме мінімального значення. Отже, врешті маємо звичайну задачу лінійного програмування.
Цільова
функція:
(11.11)
за умов:
(11.12)
.
Розв’язуючи цю
задачу симплексним методом, знаходимо
значення
а також величину
і значення
,
що є оптимальним розв’язком початкової
задачі. Отже, визначено змішану оптимальну
стратегію
для гравця А.
За аналогією можна записати задачу лінійного програмування для визначення оптимальної стратегії гравця В. З цією метою позначимо:
Маємо таку лінійну
модель задачі:
за умов:
Очевидно, що задача лінійного програмування для гравця В є двоїстою до задачі гравця А, а тому оптимальний розв’язок однієї з них визначає також оптимальний розв’язок спряженої.
1. Об’єкт, предмет, завдання, цілі та структура курсу.
2. Моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів.
3.Основні характеристики економічної сис-ми як об’єкта моделювання
4. Етапи економіко-математичного моделювання
5. Kласифікації економіко-математичних моделей
6. Економічна та математична постановка оптимізаційних задач
7. Класифікація моделей і методів розв’язування задач математичного програмування
8. Приклади економічних задач математичного програмування
9. Історія розвитку та сучасний стан дослідження операцій.
10. Економічна та математична постановка задач ЛП
11. цільова функція ЛП. Оптимальний план. Канонічна форма.
12.Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування
Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування
13.Симплексний метод розв’язування ЗЛП.Симплекс-таблиця та правила її заповнення.Алгоритм симплекс-методу.
14.Сходимость симплекс-метода Метод искусственного базиса (М-метод)
15.Основна та двоїста задачі як пара взаємоспряжених ЗЛП.Правила побудови двоїстих задач
16.Економічна інтерпрітація пари двоїстих задач.Основні теореми двоїстих задач та їх економічний зміст.
17.Післяоптимізаційний аналіз задач лінійного програмування. АНАЛІЗ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛЕЙ ЕКОНОМІЧНИХ ЗАДАЧ
18.Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції.
19.Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів.
20. Приклад практичного використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі
21.Двоїстий симплекс-метод
22.Постановка Т-задачи. Свойства транспортной задачи. Нахождение начальных опорных планов
23. Метод потенціалів знаходження розв’язків транспортної задачі
24. аналіз транспортних моделей. Приклади.
25. Економічна і математична постановка цілочислової задачі лінійного програмування
26. Методи розв’язування цілочислових задач ЛП. Метод Гоморі. Метод гілок і меж
27. Економічна сутність і постановка та моделі окремих типів задач нелінійного програмування(НЛП)
28. Задачі ДЛП.Основні методи розв’язування задач ДЛП
29. Метод множників Лагранжа
30.Опукле програмування.Необхідні та достатні умови існування сідлової точки.Теорема Куна-Таккера
31. Основні методи розвязування ЗНЛП
32. Квадратичне програмування
33. Загальна постановка ЗДП
34. Методи динамічного програмування
35.Основні поняття теорії ігор. Приклади ігор. Прийняття рішень в умовах ризику. Ігри з нульовою сумою. Мішані стратегії в матричних іграх.
36.Зведення матричної гри до ЗЛП. Зведеня ЗЛП до матричної гри.