32. Квадратичне програмування

Квадратична функція n змінних називається квадратичною формою і може бути подана у вигляді:

,

де , , ,

причому матриця С завжди симетрична, тобто для всіх .

Квадратична форма Z(X) називається від’ємно означеною, якщо для всіх Х, крім Х = 0, значення Z(X) < 0 (якщо Z(X) ≤ 0, то маємо від’ємно напівозначену квадратичну форму), у протилежному разі Z(X) є додатно означеною (якщо Z(X) ≥ 0, то маємо додатно напівозначену квадратичну форму).

Квадратична форма Z(X) називається неозначеною, якщо вона додатна для одних значень Х і від’ємна для інших.

Метод розв’язування задач квадратичного програмування

Зазначимо, що відомим з теорії аналізу функцій є таке твердження: від’ємно означена квадратична форма є угнутою, а додат­но означена — опуклою.

Розглянемо випадок від’ємно означеної квадратичної форми, що входить у цільову функцію задачі квадратичного програмування.

max , (8.42)

; (8.43)

. (8.44)

Оскільки цільова функція задачі є опуклою, а обмеження — лінійні, тобто визначають опуклу множину допустимих розв’язків, то ця задача належить до задач опуклого програмування, для яких справджується твердження, що будь-який локальний максимум є і глобальним. Отже, використовуючи умови теореми Куна — Таккера для задачі (8.42)—(8.44), отримаємо необхідні та достатні умови оптимальності плану у вигляді такої теореми. Теорема 8.6. Вектор Х^* є оптимальним розв’язком задачі квадратичного програмування тоді, і тільки тоді, коли існують такі m-вимірні вектори і n-вимірний вектор , що виконуються умови:

(І)  , ; (8.45)

(ІІ)  , ; (8.46)

(ІІІ)  , ; (8.47)

(ІV)  , .

33. Загальна постановка здп

_{Поставимо задачу динамічного програмування в загальному вигляді.}

_{Нехай аналізується деякий керований процес, подання якого допускає декомпозицію на послідовні етапи (кроки), кількість яких n задана. Ефективність всього процесу Z може бути подана як сума ефективностей окремих кроків, тобто:}

_{З кожним етапом (кроком) задачі пов’язане прийняття певного рішення, так званого крокового управління що визначає як ефективність даного етапу, так і всього процесу в цілому.}

_{Розв’язування задачі динамічного програмування полягає в знаходженні такого управління процесом у цілому, яке максимізує загальну ефективність: (max ).}

_{Оптимальним розв’язком цієї задачі є управління що складається з сукупності оптимальних покрокових управлінь: і уможливлює досягнення максимальної ефективності:}

_{Дамо геометричну інтерпретацію цієї задачі. Припустимо, що стан системи характеризується деякою точкою S на площині x1Ox2 (мал.1) і ця точка завдяки здійснюваному управлінню її рухом переміщується удовж лінії, яка зображена на мал.1, з області можливих початкових станів S0 в область допустимих кінцевих станів SR . Кожному управлінню U рухом точки, а саме кожній траєкторії руху точки, поставимо у відповідність значення деякої функції W(U) (наприклад, довжину відстані, пройденої точкою під впливом даного управління). Тоді задача полягає в тому, щоб з усіх допустимих траекторій руху точки S знайти таку, яка виходить в результаті реалізації управління U*, що забезпечує екстремальне значення функції W(U*). До означення такої “траекторії” зводиться і задача ДП у випадку, коли допустимі стани системи S визначаються точками n-вимірного простору.}

є основою методу динамічного програмування і є сутністю так званого принципу оптимальності Р. Белмана, який формулюється так:

Оптимальний розв’язок багатокрокової задачі має ту властивість, що яким би не був стан системи в результаті деякої кількості кроків, необхідно вибирати управління на найближчому кроці так, щоб воно разом з оптимальним управлінням на всіх наступних кроках приводило до максимального виграшу на всіх останніх кроках, включаючи даний.