30.Опукле програмування.Необхідні та достатні умови існування сідлової точки.Теорема Куна-Таккера
Опукле програмування розглядає методи розв’язування задач нелінійного програмування, математичні моделі яких містять опуклі або угнуті функції.
Загальний вигляд задачі опуклого програмування такий:
,
,
; (8.32)
,де
,
— угнуті функції.
Аналогічний вигляд має задача для опуклих функцій.
Позначимо:
,тоді
,
і маємо:
,
; (8.35)
,де
,
— опуклі функції
Отже, якщо визначено точку локального екстремуму задачі опуклого програмування, то це означає, що знайдено точку глобального максимуму (мінімуму).
У разі обмежень-нерівностей задачу опуклого програмування розв’язують, застосовуючи метод множників Лагранжа.
Функція Лагранжа для задачі має вид:
де
— множники Лагранжа.
Використовуючи теорему Куна — Таккера, маємо необхідні та достатні умови існування оптимального плану задачі опуклого програмування.
Якщо
задано задачу нелінійного програмування,
де функції
диференційовні і вгнуті по Х,
то для того, щоб вектор
був розв’язком цієї задачі, необхідно
і достатньо, щоб існував такий вектор
,
що пара (
,
)
була б сідловою точкою функції Лагранжа,
тобто щоб виконувалися умови:
(І) 
,
; (8.38)
(ІІ) 
,
; (8.39)
(ІІІ) 
,
; (8.40)
(IV) 
,
31. Основні методи розвязування знлп
Одним із методів, які дозволяють звести задачу нелінійного програмування до розв'язування системи рівнянь є метод невизначених множників Лагранжа.
Якщо цільова функція F є лінійною, а обмеженим простором є політоп, то задача є задачею лінійного програмування, яка може бути розв'язана за допомогою добре відомих рішень лінійного програмування.
Якщо цільова функція є угнутою (задача максимізації), або опуклою (задача мінімізації) і множина обмежень є опуклою, то задачу називають опуклою і в більшості випадків можуть бути використані загальні методи опуклої оптимізації.
Якщо цільова функція є відношенням увігнутих і опуклих функцій (у разі максимізації) і обмеження опуклі, то задача може бути перетворена в задачу опуклої оптимізації використанням технік дробового програмування.
Існують декілька методів для розв'язування неопуклих задач. Один підхід полягає у використанні спеціальних формулювань задач лінійного програмування. Інший метод передбачає використання методів гілок і меж, де задача поділяється на підкласи, щоби бути розв'язаною з опуклими (задача мінімізації) або лінійними апроксимаціями, які утворюють нижню межу загальної вартості у межах поділу. При наступних поділах у певний момент буде отримано фактичний розв'язок, вартість якого дорівнює найкращій нижній межі, отриманій для будь-якого з наближених рішень. Цей розв'язок є оптимальним, хоча, можливо, не єдиним. Алгоритм можна також припинити на ранній стадії, з упевненістю, що оптимальний розв'язок знаходиться в межах допустимого відхилення від знайденої кращої точки; такі точки називаються ε-оптимальними. Завершення біля ε-оптимальних точок, як правило, необхідне для забезпечення скінченності завершення. Це особливо корисно для великих, складних задач і задач з невизначеними витратами або значеннями, де невизначеність може бути оцінена з відповідної оцінки надійності.
Диференційовність і умови регулярності, умови Каруша — Куна — Такера (ККТ) забезпечують необхідні умови оптимальності розв'язку. При опуклості, ці умови є й достатніми.