28. Задачі длп.Основні методи розв’язування задач длп

Розв’язуючи економічні задачі, часто як критерії оптимальнос­ті беруть рівень рентабельності, продуктивність праці тощо. Ці показники математично виражаються дробово-лінійними функціями. Загальну економіко-математичну модель у цьому разі записують так позначимо через прибуток від реалізації одиниці -го виду продукції, тоді загальний прибуток можна виразити формулою: ; якщо — витрати на виробницт­во одиниці -го виду продукції, то — загальні витрати на виробництво. У разі максимізації рівня рентабельності вироб­ництва цільова функція має вигляд:

за умов виконання обмежень щодо використання ресурсів: . Передбачається, що знаменник цільової функції в області допустимих розв’язків системи обмежень не дорівнює нулю. Очевидно, що задача відрізняється від звичайної задачі лінійного програмування лише цільовою функцією, що дає змогу застосовувати для її розв’язування за певного модифікування вже відомі методи розв’язання задач лінійного програмування.

У разі, коли задача дробово-лінійного програмування містить лише дві змінні, для її розв’язування зручно скористатися графіч­ним методом.

Нехай маємо таку задачу:

за умов:

,

Спочатку, як і для звичайної задачі лінійного програмування будуємо геометричне місце точок системи нерівностей що визначає деякий багатокутник допустимих розв’язків.

Допустимо,що , і цільова функція набуває деякого значення:

.

Після елементарних перетворень дістанемо або .

Останнє рівняння описує пряму, що обертається навколо початку системи координат залежно від зміни значень х₁ та х₂.

Розглянемо кутовий коефіцієнт нахилу прямої, що виражає цільову функцію: .

Можна встановити правила пошуку максимального (мінімального) значення цільової функції:

1.якщо , то функція є зростаючою, і за збільшення значення Z (значення цільової функ­ції) кутовий коефіцієнт нахилу прямої також збільшується. Тобто у разі, якщо , для відшукання точки максимуму необхідно повертати пряму, що описує цільову функцію, навколо початку системи координат у напрямку проти годинникової стрілки;

2 .якщо , то функція є спадною і за збільшення значення Z (значення цільової функції) кутовий коефіцієнт нахилу прямої буде зменшуватись. Тому у разі, якщо , для відшукання точки максимуму необхідно повертати пряму, що описує цільову функцію, навколо почат­ку системи координат у напрямку за годинниковою стрілкою.

При розв’язуванні задачі дробово-лінійного програмування графічним методом можливі такі випадки: - багатокутник розв’язків задачі обмежений і максимальне та мінімальне значення досягаються у його кутових точках;

-багатокутник розв’язків задачі необмежений, однак існують кутові точки, в яких досягаються максимальне та мінімальне значення цільової функції;

-багатокутник розв’язків задачі необмежений і досягається лише один із екстремумів;

-багатокутник розв’язків задачі необмежений, точки екстремумів визначити неможливо.

29. Метод множників Лагранжа

Для з’ясування питання стосовно економічного змісту множників Лагранжа розглянемо застосування методу множників Лагранжа до задачі лінійного програмування як частинного випадку нелінійних задач. Нехай задача має вигляд:

(8.57)

(8.58)

Функція Лагранжа для даної задачі має вигляд:

Якщо деякий змінний вектор є допустимим розв’язком задачі (8.57)—(8.58), то функція Лагранжа ідентич­на функції мети (8.57). Через те що виконуються умови , доданки виду у функції Лагранжа перетворюються в нуль і .

З необхідних умов існування екстремуму для функції Лагранжа можна помітити, що істотною для розгляду є лише умова рівності нулю частинних похідних по множниках Лагранжа. Отже, маємо задачу, що еквівалентна (8.57), (8.58):

(8.59)

(8.60)

Розглянемо другу групу умов існування екстремальних точок функції Лагранжа, коли частинні похідні по дорівнюють нулю:

(8.61)

Допустимо, що деякий вектор задовольняє умови (8.61), тоді для нього функція Лагранжа набуває вигляду:

.

Причому для того, щоб задовольнити умову (8.59), необхідно знайти такі значення вектора, що , тобто приходимо до такої задачі:

, (8.62)

(8.63)

Очевидно (див. розділ 3), що пара задач (8.57), (8.58) та (8.62), (8.63) є парою спряжених задач (початковою та двоїстою), а множники Лагранжа — змінними двоїстої з цієї пари задач .

Отже, — це двоїсті оцінки ресурсів, «тіньові» ціни відповідних ресурсів виробництва.

Якщо поширити ці висновки на загальну задачу нелінійного програмування, додавши до задачі (8.57), (8.58) умову , то розв’язування можна здійснювати узагальненням методу Лагранжа (§ 8.4).

В результаті отримаємо двоїсту задачу, що має вигляд:

,

,

.

Звідси отримуємо економічну інтерпретацію змінних парамет­рів початкової задачі, а також множників Лагранжа.

Очевидно, що залежно від економічної постановки задачі, функ­ція Лагранжа та умови існування сідлової точки можуть мати різ­ну економічну інтерпретацію.