24.Поверхневі інтеграли 1 та 2 роду

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція   визначена і обмежена на гладкій поверхні  . Хай   позначає деяке розбиття   на скінченну кількість елементарних поверхонь   (i = 1, 2 …. і) з площами  ,   є найбільшим діаметром елементарних поверхонь   і   — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю  . Якщо існує число   з такою властивістю: для кожного  знайдеться таке , що для кожного розбиття   з  , незалежно від вибору точок    , то  називається поверхневим інтегралом 1-го роду від   по поверхні   і записується

Для окремого випадку підінтегрального виразу 

число   дає площу   поверхні  .

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

,  ,  ,

причому   та   пробігають область   площини  , 

Якщо поверхня задана явно рівнянням   причому   пробігають область  , то

Аналогічні формули вірні, якщо   представлена рівняннями виду   чи 

Поверхневі інтеграли 2 роду

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні  ; на кожній замкнутій кривій на   визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні  , розташованої однозначно над площиною   і заданою явно рівнянням  , визначена обмежена функцією  . Нехай   є розбиття поверхні   на скінченну кількість елементарних поверхонь  ,  ,   — найбільший діаметр елементарних поверхонь,   — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні  . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні   визначає напрям обходу в площині  , біля кордону проекції  . Площа   цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції   проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю  . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут   множиться не на площу   (елементарній поверхні   а на взяту із знаком площа   проекції   поверхні   на площину  .

Якщо існує число   з такою властивістю: для кожного   знайдеться таке  , що для кожного розбиття   з  , незалежно від вибору точок  , завжди | , то   називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

 за вибраною стороною   і пишуть

Якщо   не має взаємно однозначної проекції на площину  , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по   визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо   має однозначну проекцію на площину   або  , то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій   на площину   або  .

Нарешті, для трьох функцій  ,  ,  , визначених на  , ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:

Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)

1. Нехай поверхня   має явне представлення  , причому   змінюються в області  . Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні  , для якої кут між нормаллю і віссю   є гострим, обчислюється так:

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

де   задана рівнянням  ,   — проекція   на площину  , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю   гострий кут. Так само

де   задана рівнянням  ,   проекція   на площину  , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня   задана в параметричній формі:  ,  ,  , то

де

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області   площини   відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо