19.Визначений інтеграл,його геометричний та механічний зміст,Основні властивості.Формула Нютона-Лейбніца

Визначений інтеграл 

Визначеним інтегралом від неперервної на [а;b] функції f(x) з нижньою межею а і верхньою межею bназивають різницею F(b) - F(a), де F(x) - одна з первинних для функції f(x). Позначають визначений інтеграл так  f(x)dx.

При обчисленні різниці F(b) - F(а) можна брати будь-яку з первісних функцій f(х), що записуються в загальному вигляді F(x) + С. Але прийнято застосовувати ту первісну для якої С = 0.

За наведеним означенням маємо:

 

Цю формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Зауважимо, що при обчисленні визначених інтегралів зручно різницю F(b) - F(a) записують так F(x)  . Застосовуючи це позначення формулу Ньютона-Лейбніца записують ще й у такому вигляді:

Властивості

Лінійний функціонал

На певній області визначення   інтеграл є лінійним функціоналом на просторі функцій:

тут   і   — функції,   — число.

Адитивність по області[

Якщо області   та   не перетинаються (або "перетинаються в точці"), інтеграл по об'єднаній області   є сумою інтегралів по   та  :

Монотонність

Якщо   не зростаюча послідовність (тобто  ) функцій, які збігаються до нуля для всіх   на області інтегрування, тоді  .

Нормованість

Інтеграл сталої функції-константи   розраховується "як площа прямокутника"

де   — це "міра" області інтегрування, в простішому випадку просто довжина інтервала, або ж "площа" області інтегрування.

Геометричний зміст визначеного інтеграла

     Площа S криволінійної трапеції (фігура, обмежена графіком неперервної додатної на проміжку [a; b] функціїf(x), віссю Ох, та прямими х=а, х=b) обчислюється за формулою

 .

Механічний зміст визначеного інтеграла

     Під час прямолінійного руху переміщення s чисельно дорівнює

,

де v(t) – швидкість руху.

20.Застосування визначеного інтегралу

 Визначений інтеграл має чисельні застосування у багатьох галузях знань – у геометрії, фізиці, механіці, хімії, біології, економіці та інших.Наприклад у геометрії це Обчислення площ плоских фігур у прямокутній декартовій системі  координат, Обчислення площі фігури, обмеженої лініями, які задані параметрично, Обчислення площі фігури у полярній системі координат.

Фізичне застосування визначеного інтегралу полягає у обчисленні пройденого шляху,роботи сили,маси і координати центру ваги неоднорідного стрижня, Обчислення тиску рідини на вертикально занурену пластину, часу витікання рідини з отвору і інше.

21.Невласні інтеграли 1 та 2 роду

За теоремою про існування визначеного інтеграла

1.

Означення. називають невласним інтегралом 1-го роду й позначають

Аналогічно визначаються через границі такі невласні інтеграли:

;

.

Якщо границя в невласному інтегралі дорівнює скінченному числу, то інтеграл називається збіжним, у протилежному разі – розбіжним.

2. і

Означення. називають невласним інтегралом 2-го роду й позначають .

Інтеграл збігається, якщо границя дорівнює скінченному числу й розбігається, якщо він дорівнює нескінченності або не існує. Аналогічно визначаються невласні інтеграли, коли або в точці неусувний розрив 2-го роду:

Зауваження. В останньому випадку, якщо хоча б одина з границь дорівнює нескінченності або не існує, то розбігається.