39.Уравнение Шредингера. Волновая функция и ее физ. Смысл.

Уравнение Шредингера — основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, описывающее динамику частиц. Предложено Э. Шредингером в 1926 г. Состояние классической частицы в любой момент времени описывается заданием ее координат и импульсов (x,y,z,p_x,p_y,p_z). Зная эти величины в момент времени t, можно определить эволюцию системы под действием известных сил во все последующие моменты времени. Координаты и импульсы частиц сами являются величинами, непосредственно измеряемыми на опыте. В кван­то­вой физике состояние системы описывается волновой функцией ψ(x,y,z,t). Т. к. для квантовой частицы нельзя одновременно точно определить значения ее координат и импульса, то не имеет смысла говорить о движении частицы по определенной траектории, можно определить только вероятность нахождения частицы в данной точке в данный момент времени, которая определяется квадратом модуля волновой функции

W ~ |ψ(x,y,z,t)|².

    Эволюция квантовой системы в нерелятивистском случае описывается волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера

где ψ(x,y,z,t) − волновая функция,   − оператор Гамильтона (оператор полной энергии системы).      В нерелятивистском случае

где m − масса частицы,   − оператор импульса,  (x,y,z,t) − оператор потенциальной энергии частицы. Задать закон движения частицы в квантовой механике это значит определить значение волновой функции в каждый момент времени в каждой точке пространства. Уравнение Шредингера играет в квантовой механике такую же роль, как и второй закон Ньютона в классической механике.     В стационарном состоянии

Ψ (x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e^-iEt/ћ.

Так как вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна  |Ψ(x, y, z, t )|² , то в данном случае она ~ |ψ (x, y, z)|², т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, т.к. выражается через квадраты модулей волновых функций.     Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенцииальная энергия частицы явным образом не зависит от времени, имеет вид

ψ(x, y, z) = Eψ(x, y, z).

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.     Одна из специфических особенностей квантовых систем состоит в том, что энергетические спектры частиц, находящихся в ограниченном объеме пространства дискретны.

Принцип причинности в квантовой механике

Из соотношения неопределенностей часто делают идеалистический вывод о непри­менимости принципа причинности к явле­ниям, происходящим в микромире. При этом основываются на следующих сообра­жениях. В классической механике, соглас­но принципу причинности — принципу классического детерминизма, по известно­му состоянию системы в некоторый момент времени (полностью определяется значе­ниями координат и импульсов всех частиц системы) и силам, приложенным к ней, можно абсолютно точно задать ее состоя­ние в любой последующий момент. Следо­вательно, классическая физика основыва­ется на следующем понимании причинно­сти: состояние механической системы в начальный момент времени с известным законом взаимодействия частиц есть при­чина, а ее состояние в последующий мо­мент — следствие.

С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответству­ющую проекцию импульса (задаются со­отношением неопределенностей (215.1)), поэтому и делается вывод о том, что в на­чальный момент времени состояние систе­мы точно не определяется. Если же со­стояние системы не определено в началь­ный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состоя­ния, т. е. нарушается принцип причин­ности.

Необходимо, однако, отдавать себе отчет в том, что никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъектам не наблюдается, по­скольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает со­вершенно иной смысл, чем в классической механике. В квантовой механике состоя­ние микрообъекта полностью определяет­ся волновой функцией (х, у, z, t), квад­рат модуля которой (x, у, z, t)² задает плотность вероятности нахождения части­цы в точке с координатами х, у, z.

В свою очередь, волновая функция (х, у, z, t) удовлетворяет уравнению Шредингера (217.1), содержащему пер­вую производную функции  по времени. Это же означает, что задание функции ₀ (для момента времени to) определяет ее значение в последующие моменты. Следо­вательно, в квантовой механике начальное состояние ₀ есть причина, а состояние  в последующий момент — следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т. е. задание функ­ции ₀ предопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким об­разом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествующего со­стояния, как того требует принцип при­чинности.

40.Квантовые числа. Энергетические уровни.

Главное квантовое число (n). Определяет энергетический уровень электрона, удаленность уровня от ядра, размер электронного облака. Принимает целые значения (n = 1, 2, 3 ...) и соответствует номеру периода. Из периодической системы для любого элемента по номеру периода можно определить число энергетических уровней атома и какой энергетический уровень является внешним.

Орбитальное квантовое число (l) характеризует геометрическую форму орбитали. Принимает значение целых чисел от 0 до (n - 1). Независимо от номера энергетического уровня, каждому значению орбитального квантового числа соответствует орбиталь особой формы. Набор орбиталей с одинаковыми значениямиn называется энергетическим уровнем, c одинаковыми n и l - подуровнем.

Магнитное квантовое число (m) характеризует положение электронной орбитали в пространстве и принимает целочисленные значения от -I до +I, включая 0. Это означает, что для каждой формы орбитали существует (2l + 1) энергетически равноценных ориентации в пространстве.

Спиновое квантовое число (s) характеризует магнитный момент, возникающий при вращении электрона вокруг своей оси. Принимает только два значения +1/2 и –1/2 соответствующие противоположным направлениям вращения.

В современном понятии об орбитальной модели атома, электроны в атоме способны обладать лишь определёнными величинами энергии, и переходить с одного энергетического уровня на другой лишь скачком. Разница между энергетическими уровнями определяет частоту кванта света, выделяемого или поглощаемого при переходе. Каждой паре значений главного квантового числа n и орбитального квантового числа l соответствует определённый уровень энергии, которой может обладать электрон.

Главные энергетические уровни атома — это совокупности атомных орбиталей, имеющих одинаковые значения главного квантового числа. Число таких энергетических уровней в атоме равно номеру периода, в котором расположен соответствующий химический элемент. Например, калий — элемент четвёртого периода, следовательно, его атом имеет 4 основных энергетических уровня (n = 4).

Каждый главный энергетический уровень в атоме расщеплён на подуровни (s-, p-, d-, f-орбитали), соответствующие изменениям орбитального квантового числа. В достаточно сильных магнитных полях можно обнаружить расщепление этих подуровней на отдельные состояния, соответствующие различным значениям магнитного квантового числа.