Дифференцируемость.

38. Что называется производной функции в точке? Какая функция называется дифференцируемой? В чем заключается геометрический смысл производной функции в точке?

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

(читается «дельта икс») называют приращением аргумента функции. На рисунке красной линией показано изменение аргумента от значения x до значения (отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).

При переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до при условии монотонности функции на отрезке . Разность называют приращением функции f(x), соответствующем данному приращению аргумента. На рисунке приращение функции показано синей линией.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

39. Приведите примеры функций, которые не имеют производной в некоторой точке.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно: непрерывная функция может не иметь производной.

С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р .

Функция y = | x | всюду непрерывна, но она не имеет производной при x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции.

40. Сформулируйте необходимое условие дифференцируемости функции (непрерывность). Является ли оно достаточным? Приведите пример.

Формулировка: Если функция   определена и дифференцируема (имеет производную) в некоторой окрестности  , то она непрерывна в точке  .

Доказательство: Пусть функция   — имеет производную в точке  ; , где   функция  — непрерывна в точке  .

Замечание: Условие непрерывности функции в точке не является достаточным для дифференцируемости функции в точке.

Контр-пример:

При   и  , то получим  , где  , а значит функция   — не дифференцируема в точке 0, хотя и непрерывна в ней.

41. Напишите формулы для производных всех элементарных функций и обратных к ним.

42. Что называется дифференциалом функции? В чем заключается геометрический смысл дифференциала функции в точке?

Определение

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Замечание

Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

Замечание

Наряду с понятием дифференциала функции вводится понятие дифференциала аргумента. По определению дифференциал аргумента есть приращение аргумента:

Замечание

Формулу для дифференциала функции можно записать в виде:

Отсюда получаем, что

Итак, это означает, что производная может быть представлена как обыкновенная дробь - отношение дифференциалов функции и аргумента.

Геометрический смыл дифференциала

Дифференциал функции у = f(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение

∆х.

43. Многочлен Тейлора и формула Тейлора. Различные виды остаточного члена.

Пусть ф-я f(x) n раз дифференцируема в точке x0. Многочлен n-й степени относительно переменной x, записанный по степеням x - x0, называется многочленом Тейлора для ф-ии f(x) в точке x0 если в этой точке равны значения f(x) и многочлена Tn(x) а так же значения всех их производных до n-го порядка.

Пусть функция f(x) имеет в точке x0 производные всех порядков до n-го включительно. Тогда для f(x)справедлива формула Тейлора:

f(x)=f(x0)+((f'(x0))/1!)×(x-x0)+((f"(x0))/2!)×(x-x0)^2+...+((f(n)(x0))/n!×(x-x0)^n+о((x-x0)^n)

где Rn(x)=о((x-x0)^n), называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано; Rn(x) - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем (x-x0)^n.

Виды остаточных членов:

Форма Лагранжа

Rn(x)=((f^(n+1))(c)/(n+1)!)×(x-x0)^(n+1)

Форма Пеано

Rn(x)= о((x-x0)^n), x->x0

44. Формулы Тейлора основных элементарных функций.

45. Использование формулы Тейлора для приближенного вычисления функции.

Если остаток в формуле Тейлора |Rn(x0,x)|< α0, то формулу Тейлора для многочлена можно записать так: f(x)=f(x0)+(f'(x0)/1!)×(x-x0)+(f''(x0)/2!)×(x-x0)^}+...+(f^(n)(x0)/n!×(x-x0)^n.

Важна форма записи остаточного члена:

Rn(x0,x)=(f^(n+1)(ξ )/(n+1)!)×(x-x0)^(n+1)

Rn(x0,x) — определяет погрешность формулы. Если же f(x) вычисляется по формуле при конкретном числовом значении x , то может оказаться, что слагаемые в этой формуле сами вычисляются приближённо. Тогда погрешность результата будет состоять из погрешности слагаемых и погрешности формулы. Если вычислять все слагаемые с одинаковой точностью α0 (погрешностью формулы), то общая погрешность результата равна (n+2)\α0

Пусть α — заранее известная точность результата. Тогда следует преобразовать α0 так, чтобы обеспечить выполнение неравенства (n+2)\α0=<α , то есть α0=<α/(n+2). При достаточно малых n α0=α/10=<α/(n+2)

Обычно точность вычислений α задается в виде: α=10^(-m)=》α0=10^(-(m+1)) . Это значит, что вычисления нужно проводить с одним запасным знаком.

46. Сформулируйте необходимые и достаточные условия строгой монотонности дифференцируемой функции на интервале. Запишите план нахождения промежутков строгой монотонности функции.

Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале

Пусть функция f принадлежащая (a,b) непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке x принадлежащая (a,b) производную f'(x). Тогда

если для любого x принадлежащего (a,b) f'(x) > 0, то f строго возрастает на (a,b);

если для любого x принадлежащего (a,b) f'(x) < 0, то f строго убывает на (a,b).

Необходимое условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале

Пусть f принадлежит (a,b), и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Для любого x принадлежащего (a,b) f'(x)>=0;

Для любого (c,d) содержащегося в (a,b) существует x принадлежащий (c,d)\; f'(x) > 0.

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Для любого x принадлежащего (a,b) f'(x) <=0;

Для любого (c,d) содержащегося в (a,b) существует x принадлежащий (c,d) f'(x) < 0.

47. Какие точки называются критическими точками функции? Какие точки называются стационарными точками функции? Запишите план нахождения критических точек функции.

48. Какие точки называются точками экстремума функции? Что называют экстремумами функции? Сформулируйте достаточные условия существования точки экстремума функции. (два достаточных условия). Запишите два плана нахождения точек экстремума функции.

49. Дайте определение выпуклости вверх и вниз графика функции на интервале. Сформулируйте достаточное условие выпуклости дважды дифференцируемой функции на интервале. Запишите план нахождения интервалов выпуклости функции.

50. Какие точки называются точками перегиба? Сформулируйте достаточные условия существования точки перегиба. Запишите план нахождения точек перегиба функции.

Ответы на вопросы с 47-50.

Экстремум функции 

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции. 

Пояснение.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

x_max = 3,  x_max = 8.

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

x_min = 5.

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

  

Точка xо является точкой максимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) меньше или равно f(xо): f(x) ≤ f(xо) Упрощенная формулировка: если в точке xо производная меняет знак с плюса на минус, то xо является точкой максимума.   Точка хо является точкой минимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) больше или равно f(xо): f(x) ≥ f(xо) Упрощенная формулировка: если в точке xо производная меняет знак с минуса на плюс, то xо является точкой минимума.

 

Критические и стационарные точки функции:

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками. Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

 

Необходимое условие экстремума:

Если xо – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).

 

Достаточное условие экстремума:

Пусть xо – критическая точка. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак плюс на минус, то xо – точка максимума: xо – точка максимума, y = f(xо) – максимум.   Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак минус на плюс, то xо – точка минимума: xо – точка минимума, y = f(xо) – минимум.   Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

 

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

1) Найти производную f ′(x). 2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x). 3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. 4) Сделать выводы о монотонности функции и ее точках экстремума.

Выпуклости вверх и вниз графика функции.

Выпуклость функции. Направление выпуклости. Точки перегиба. Условия выпуклости и перегиба.

Навигация по странице..

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х.

Определение.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х.

Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз – вогнутой.

Посмотрите на чертеж, иллюстрирующий эти определения.

Определение.

Точка называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости.

Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее.

Если необходимо, обратитесь к разделу касательная к графику функции в точке, чтобы вспомнить условия существования невертикальной и вертикальной касательной.

На рисунке ниже представлены несколько примеров точек перегиба (отмечены красными точками). Заметим, что некоторые функции могут не иметь точек перегиба, а другие могут иметь одну, несколько или бесконечно много точек перегиба.

Нахождение интервалов выпуклости функции.

Сформулируем теорему, которая позволяет определять промежутки выпуклости функции.

Теорема.

Если функция y=f(x) имеет конечную вторую производную на интервале Х и если выполняется неравенство ( ), то график функции имеет выпуклость направленную вниз (вверх) на Х.

Эта теорема позволяет находитьть промежутки вогнутости и выпуклости функции, нужно лишь на области определения исходной функции решить неравенства и соответственно.

Следует отметить, что точки, в которых функция y=f(x) определена, а вторая производная не существует, будем включать в интервалы вогнутости и выпуклости.

Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выяснить промежутки, на которых график функции имеет выпуклость направленную вверх и выпуклость направленную вниз.

Решение.

Областью определения этой функции является все множество действительных чисел.

Найдем вторую производную.

Область определения второй производной совпадает с областью определения исходной функции, поэтому, чтобы выяснить интервалы вогнутости и выпуклости, достаточно решить и соответственно.

Следовательно, функция выпуклая вниз на интервале и выпуклая вверх на интервале .

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом.

Сформулируем необходимое условие перегиба графика функции.

Пусть график функции y=f(x) имеет перегиб в точке и имеет при непрерывную вторую производную, тогда выполняется равенство .

Из этого условия следует, что абсциссы точек перегиба следует искать среди тех, в которых вторая производная функции обращается в ноль. НО, это условие не является достаточным, то есть не все значения , в которых вторая производная равна нулю, являются абсциссами точек перегиба.

Еще следует обратить внимание, что по определению точки перегиба требуется существование касательной прямой, можно и вертикальной. Что это означает? А означает это следующее: абсциссами точек перегиба могут быть все из области определения функции, для которых и . Обычно это точки, в которых знаменатель первой производной обращается в ноль.

Первое достаточное условие перегиба.

После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.

Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки .

Сейчас обобщим всю информацию в виде алгоритма.

Алгоритм нахождения точек перегиба функции.

Находим все абсциссы возможных точек перегиба графика функции ( или и ) и выясняем, проходя через какие вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками

Первое достаточное условие перегиба графика функции позволяет определять точки перегиба и не требуют существования второй производной в них. Поэтому, первое достаточное условие можно считать универсальным и самым используемым.

Сейчас сформулируем еще два достаточных условия перегиба, но они применимы лишь при существовании конечной производной в точке перегиба до некоторого порядка.

Второе достаточное условие перегиба.

Если , а , тогда является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

Графическая иллюстрация.

Часть графика функции на интервале выпуклости изображена синим цветом, на интервале вогнутости – красным цветом, точка перегиба показана черной точкой.

Третье достаточное условие перегиба.

Пусть , а , тогда если n – четное число, то является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

20