Непрерывность.

29. Какая функция называется непрерывной (два определения)? Какая точка называется точкой непрерывности функции? Какая точка называется точкой разрыва функции?

Функция называется непрерывной в точке , если:

1. функция определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции в точке ;

3. это предел равен значению функции в точке , т.е.

Замечание

При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции :

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва

30. Типы точек разрыва (точка устранимого разрыва, точка разрыва 1 рода, точка разрыва 2 рода)?

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называется точкой устранимого разрыва

31. Сформулируйте теорему об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁[a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ≤ f (x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если рассмотреть функцию y=x на (0, 2), то она непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт быть верной для разрывных функций.

Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

32. Сформулируйте теорему о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных верхних и нижних граней.

Если функция f непрерывна на [a,b], то существует ее минимум и максимум на [a,b], т. е. существуют точки α, β[a,b] такие, что f(α)≤ f(x) ≤f(β) для всех x[a,b]. Иначе говоря, .

Непрерывная функция y=f(x) достигает своего минимума на [a,b] в точке x=α и максимума в точке x=β. В данном случае обе точки a и b принадлежат к интервалу . Непрерывная функция достигает минимума на отрезке на левом его конце и максимума – в некоторой внутренней точке этого отрезка.

З а м е ч а н и е 1. По теореме 1 непрерывная на отрезке функция ограничена на нем. Следовательно, существуют конечные точные нижняя и верхняя грани на этом отрезке:

.

Теорема 2 утверждает, что эти грани на достигаются, т. е. здесь и можно заменить соответственно на и (минимум и максимум).

33. Сформулируйте теорему о промежуточных значениях непрерывной функции.

Пусть функцияy = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка C [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

34. Сформулируйте теорему о нуле непрерывной функции, принимающей на концах отрезка значения разных знаков.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

35. Какая прямая называется вертикальной асимптотой графика непрерывной функции и как ее найти?

Вертикальная асимптота графика, как правило, находится в точке бесконечного разрыва функции. Всё просто: если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то прямая, заданная уравнением является вертикальной асимптотой графика.

Примечание: обратите внимание, что запись используется для обозначения двух совершенно разных понятий. Точка подразумевается или уравнение прямой – зависит от контекста.

Таким образом, чтобы установить наличие вертикальной асимптоты в точке достаточно показать, что хотя бы один из односторонних пределов бесконечен. Чаще всего это точка, где знаменатель функции равен нулю. По существу, мы уже находили вертикальные асимптоты в последних примерах урока о непрерывности функции. Но в ряде случаев существует только один односторонний предел, и, если он бесконечен, то снова – любите и жалуйте вертикальную асимптоту. Простейшая иллюстрация: и ось ординат (см. Графики и свойства элементарных функций).

Из вышесказанного также следует очевидный факт: если функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.

36. Какая прямая называется горизонтальной асимптотой графика непрерывной функции и как ее найти?

Горизонтальные асимптоты.

Если ? то y = b – горизонтальная асимптота кривой y = f(x) (правая при , левая при и двусторонняя, если пределы при равны).

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую. Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Найдите предел функции при устремлении аргумента "x" к плюс бесконечности. Если этот предел равен некоторому числу A, то y=A - горизонтальная асимптота функции.

2

Найдите предел функции при устремлении аргумента "x" к минус бесконечности. Опять же, если этот предел равен некоторому числу B, то y=B - горизонтальная асимптота функции. Пределы функции при стремлении аргумента к минус и плюс бесконечности могут совпадать, в этом случае имеем только одну горизонтальную асимптоту.

3

Отметьте на оси ординат Oy точки A и B (одну точку, если они совпадают). Проведите через каждую точку прямую параллельно оси абсцисс Ox. Это и будет горизонтальная асимптота функции.

4

Используйте найденную горизонтальную асимптоту при построении графика функции. Помните, что при большом увеличении (уменьшении) аргумента он будет бесконечно приближаться к асимптоте, но никогда не пересечет

37. Какая прямая называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции и как ее найти?

Наклонные асимптоты. Существование наклонной асимптоты определяется следующей теоремой.

Теорема. Для того, чтобы кривая y = f(x) имела асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

(1)

или

(2)

В первом случае получается правая наклонная асимптота, во втором – левая. Правая наклонная асимптота изображена на рис. снизу.

При совпадении пределов (1) и (2) прямая y = kx + b является двусторонней асимптотой кривой.

Если хотя бы один из пределов, определяющих асимптоту y = kx + b, не существует, то график функции не имеет наклонной асимптоты (но может иметь вертикальную).

Нетрудно видеть, что горизонтальная асимптота y = b является частным случаем наклонной y = kx + b при k = 0.

Поэтому если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Если заданная функция имеет асимптоты, то они могут быть вертикальными или наклонными. Существуют также горизонтальные асимптоты, являющиеся частным случаем наклонных.

2

Предположим, что вам дана функция f(x). Если она не определена в некоторой точке x0 и по мере приближения x к x0 слева или справа f(x) стремится к бесконечности, то в этой точке функция имеет вертикальную асимптоту. Например, в точке x = 0 лишаются смысла функции 1/x и ln(x). Если x → 0, то 1/x → ∞, а ln(x) → -∞. Следовательно, обе функции в этой точке имеют вертикальную асимптоту.

3

Наклонная асимптота — прямая, к которой неограниченно стремится график функции f(x) по мере того, как x неограниченно возрастает или убывает. Функция может иметь и вертикальные, и наклонные асимптоты. В практических целях различают наклонные асимптоты при x → ∞ и при x → -∞. В ряде случаев функция может стремиться к одной и той же асимптоте в обе стороны, но, вообще говоря, они не обязаны совпадать.

4

Асимптота, как и всякая наклонная прямая, имеет уравнение вида y = kx + b, где k и b — константы. Прямая будет наклонной асимптотой функции при x → ∞, если по мере стремления x к бесконечности разность f(x) - (kx+b) стремится к нулю. Аналогично, если эта разность стремится к нулю при x → -∞, то прямая kx + b будет наклонной асимптотой функции в этом направлении.

5

Чтобы понять, имеет ли заданная функция наклонную асимптоту, и если имеет — найти ее уравнение, нужно вычислить константы k и b. Метод вычисления не меняется от того, в каком направлении вы ищете асимптоту. Константа k, также называемая угловым коэффициентом наклонной асимптоты, является пределом отношения f(x)/x при x → ∞. Например, путь задана функция f(x) = 1/x + x. Отношение f(x)/x будет в этом случае равно 1 + 1/(x^2). Его предел при x → ∞ равен 1. Следовательно, заданная функция имеет наклонную асимптоту с угловым коэффициентом 1.