Ж

Вопросы к экзамену по математическому анализу

1 курс, 2 семестр, лектор Птицына И.В.

Первые вопросы

Функции, основные понятия

1. Что такое функция? Что называется областью определения функции? Что называется множеством значений функции?

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами другого множества.

Область задания функции (более старый термин — область определения) — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть задано.

Если на множестве задана функция, которая отображает множество в другое множество, то множество называется областью задания функции.

Более формально, если задана функция , которая отображает множество в , то есть: , то

множество называется областью задания функции и обозначается , или (от англ. domain — «область»).

Обычно предполагается, что . Пусть теперь — такое множество, что для каждого элемента задано значение функции , а множество содержит как множество так и точки, в которых функция не задана. В этом случае множество называется областью отправления функции, а его подмножество называется областью задания функции.

Этот факт коротко записывают в виде: .

Множество значений функции. Пусть задана функция у = f(x) с областью определения D(f). Множество чисел, пробегаемое функцией у, когда х принимает все возможные значения (т.е. при всех значениях ), называется множеством значений функции, или областью значений функции, или областью изменения функции и обозначается через E(f).

2. Какие способы задания функции вы знаете? Что такое график функции?

Графический- В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (х), а по оси ординат - значение функции (у). По графику тоже можно выбрать любой х и найти соответствующее ему значение у. График может быть любой, но... не какой попало.) Мы работаем только с однозначными функциями. В определении такой функции чётко сказано: каждому х ставится в соответствие единственный у. Один игрек, а не два, или три... Для примера, посмотрим на график окружности:

Табличный- Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому иксу соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение игрека. В первой строчке - значения аргумента. Во второй строчке - соответствующие им значения функции

Аналитический - Самый универсальный и могучий способ. Функция, заданная аналитически, это функция, которая заданаформулами. Собственно, это и есть всё объяснение.) Знакомые всем (хочется верить!)) функции, например: y = 2x, илиy = x² и т.д. и т.п. заданы именно аналитически.

График функции — понятие в математике, которое даёт представление о геометрическом образе функции. В этом случае, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y) которых связаны указанной функцией

3. Какая функция называется обратимой? Какие функции называются взаимно обратными? Как расположены графики взаимно обратных функций?

Функция f(x) называется обратимой

(Происхождение названия выяснится дальше: функция обратима, если для нее существует обратная ей функция),

если каждое свое значение она принимает один-единственный раз. Таковы функции f3(x) и f4(x) из примера 4. Функции же f1(x) и f2(x) примера 4 и функции примеров 1 , 2 и З н е о б р а т и м ы.

Чтобы доказать, что какая-либо функция необратима, достаточно указать какие-либо два значения аргумента,для которых .В примере 3 достаточно заметить, что Петя дежурит как 1-го, так и 5 февраля. Поэтому функция примера 3 необратима.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции обычно обозначается , иногда также используется обозначение .

Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества:

для всех

для всех

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов координатной плоскости Оху.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у-х.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла.

Как расположены графики взаимно обратных функций.

Доказать, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Относительно графика какой функции симметричны графики взаимно обратных функций.

Из сказанного делаем следующий практически важный вывод графики взаимно обратных функцийрасположены симметрично от мосительно биссектрисы первого - третьего координатных иглО ( ( черт.

Из сказанного делаем следующий практически важный вывод: графики взаимно обратных функцийрасположены симметрично относительно биссектрисы первого - третьего координатных углов ( черт.

Точное доказательство этого утверждения мы не приводим, ссылаясь лишь на его геометрическую наглядность, вытекающую из установленной связи между графиками взаимно обратных функций.

Точное доказательство этого утверждения мы не приводим, ссылаясь лишь на его геометрическую наглядность, вытекающую из установленной связи между графиками взаимно обратных функций.

Подробнее об этом будет сказано дальше, а сейчас мы научимся по заданной функции находить ей обратную и установим геометрическую связь между графиками взаимно обратных функций.

Подробнее об этом будет-сказано - дальше, а сейчас мы научимся по заданной функции находить ей обратную и установим геометрическую связь между графиками взаимно обратных функций.

4. Сформулируйте определения четной и нечетной функции. Какие геометрические особенности имеют графики и области определения четных и нечетных функций?

Определение: Функция f называется четной, если для любого x из области определения f(-x) = f(x). 

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого x из области определения f(-x) = -f(x). 

Графики функций которых симметричны относительно начала координат. Это означает, что для любого x из области определения, число -x так же принадлежит области определения.

5. Какие функции называются периодическими? Какие геометрические особенности имеют графики и области определения периодических функций?

Определение. Функция называется периодической, если у нее есть период, не равный нулю.

Определение. Число   называется периодом функции  , если     и  .

Если   числа   и   принадлежат   и  , то  .

графики периодических функций являются периодическими

6. Какая функция называется возрастающей? Когда она называется строго возрастающей? Какая функция называется убывающей? Когда она называется строго убывающей? Какие функции называются монотонными и строго монотонными?

Функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а ≤ х < х' ≤ b выполняется неравенство f (x) ≤ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f (x'). Аналогично определяется убывание и строгое убывание функции.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное^[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной.Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции

7. Какая функция называется ограниченной? Какая функция называется ограниченной сверху? Какая функция называется ограниченной снизу?

Последовательности. Пределы последовательностей.

8. Что называется последовательностью? Какие способы задания последовательностей вы знаете?

Числовой последовательностью называется числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел или на множестве n первых натуральных чисел.

1.словесный

2.рекуррентный

3.аналитический

4.графический

9. Что называется пределом последовательности? В чем заключается геометрический смысл сходимости последовательности?

Число А называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер N, зависящий от E, что для всех номеров n>=N выполняется условие |a(n)-A|<E.

Геометрический смысл.

На числовой оси можно указать сколько угодно малый отрезок, в который ложится бесконечное число членов последовательности

10. Необходимое условие существования предела последовательности.

Не нужно делать

11. Теорема о единственности предела последовательности.

Не нужно делать

12. Какая последовательность называется бесконечно малой? Сформулируйте критерий существования предела последовательности.

Числовая последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой

13. Сформулируйте теорему о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть – ограниченная, а – бесконечно малая последовательности. Это означает, что существует число М>0 такое, что для любого номера n , и для любого числа существует номер N такой, что для всех номеров выполняется . Тогда для всех номеров и любого ε>0 выполняется , а это и означает, что последовательность – бесконечно малая.

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

14. Сформулируйте теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности (теорема Вейерштрасса).

Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).

Если последовательность Хn является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и Xn ограничена сверху (снизу), то Xn является сходящейся.

Данную теорему можно сформулировать немного иначе - Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

15. Сформулируйте теорему о пределе промежуточной последовательности («о двух милиционерах» для последовательностей).

Пределы функций.

16. Что называется пределом функции при ?

Определения «по Коши» и «по Гейне» и их геометрический смысл.

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в точке x0 (или при х хо), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n є N (xnx0), сходящейся к хо последовательность соответствующих значений функции ƒ(хn), n є N, сходится к числу А В этом случае пишут или ƒ(х)—>А при х→хо. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке хо, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Теорема о единственности предела функции:Если переменная имеет предел, то этот предел единственный

Число А называется пределом функции в точке хо (или при х→хо), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все ххо, удовлетворяющих неравенству |х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Геометрический смысл предела функции: если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки хо, что для всех ххо из етой δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε. Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

17. Что называется правым (правосторонним) пределом функции в точке? Что называется левым (левосторонним) пределом функции в точке?

Что называется правым (правосторонним) пределом функции в точке?

Если при нахождении предела рассматривать значения х только cправа от т. а то такой предел наз.правым или правосторонним lim(x→a+0)f(x)

Что называется левым (левосторонним) пределом функции в точке?

Если при нахождении предела рассматривать значения х только слева от т. а то такой предел наз. Левым или левосторонним lim(x→a-0)f(x)

18. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (существование о равенство односторонних пределов функции в точке).

Существование и равенство односторонних пределов в этой точке.

19. Сформулируйте теорему о единственности предела функции.

Теорема о единственности предела

Формулировка:

Теорема о единственности предела функции.

Если переменная f(x) имеет предел, то этот предел единственный

Если функция f(x) в точке a имеет предел, то этот предел единственный.

20. Какая функция называется бесконечно малой при ? Сформулируйте критерий существования предела функции.

Пусть функция α(х) определена в некоторой проколотой окрестности т. а. Функция α(х) называется бесконечно малой при , если предел ее = 0

Критерий существования предела функции.

Для того чтобы функция f,x X, имела в (конечной или бесконечно удаленной) точке x0 конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0существовала такая окрестность U(x0) точки x0, что для любых x' X U(x0) и x" X U(x0) выполнялось бы неравенство

| f(x") - f(x')| < .

21. Сформулируйте теорему о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. говорят, что —бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , —бесконечно малая функция более низкого порядка малости, чем .В случае, когда в записи , и — бесконечно малые функции при , говорят, что и являются бесконечно малыми функциями одного порядка малости.

В случае, когда в записи — бесконечно малая функция, говорят, что бесконечно малая функция имеет -й порядок малостиотносительно функции .

22. Сформулируйте теорему о пределе монотонной ограниченной функции (теорему Вейерштрасса).

Теорема 1(первая теорема Вейерштрасса). Всякая монотонная ограниченная функция имеет предел.

23. Сформулируйте теорему о пределе промежуточной функции («о двух милиционерах» для функций).

Если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство и

то

24. Первый замечательный предел и его следствия. Геометрический смысл.

Первый замечательный предел:

Определение

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Следствия:

Геометрический смысл: прямая касается графика функции в точке x=0

25. Запишите второй замечательный предел для функций.

Второй замечательный предел имеет вид: или в другой записи В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .

26. Сравнение бесконечно малых функций (бесконечно малые одного порядка, эквивалентные бесконечно малые и бесконечно малые более высокого порядка).

Функция называется бесконечно малой при (или в точке ), если Бесконечно малые функции одного порядкаПусть и - две б.м. функции при .Функции и называются б.м. одного порядка малости при , если Бесконечно малые функции более высокого порядка.Если , то является б.м. более высокого порядка при , чем

Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции

Если ,то б.м. функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при : при .

27. Таблица эквивалентных функций.

28. О-малое.

. Пусть и — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки , причем в этой окрестности не обращается в нуль. Говорят, что:

является «о» малым от при , если для любого найдется такая проколотая окрестность точки , что для всех имеет место неравенство