Системы ду

 или 

Задачей Коши для для этой системы называется следующая задача: найти такое решение Y = Y(x) системы Y' = F(x,Y), что Y(x₀)=Y₀, где Y₀ — некоторый постоянный вектор.

 

Вектор-функция Y = Y(x,С), зависящая от произвольного вектора С, называется общим решением системы, если:

— при любом векторе C, вектор-функция Y(x,С) является решением системы;

— какова бы ни была начальная точка ((x₀, Y₀), существует такой вектор С⁽⁰⁾, что Y(x⁽⁰⁾,С⁽⁰⁾) = Y₀.

Теорема Коши. Пусть в области D из Rⁿ⁺¹ непрерывны все компоненты вектора правой части F(x,Y) и их частные производные поY:

Тогда, какова бы ни была начальная точка (x₀,Y₀) ≡ (x₀,y_{1, 0} ,y_{2, 0}, … ,y_{n, 0} ) ∈ D , существует такой отрезок [x₀ − h; x₀ + h] , что задача Коши   Y' = F(x,Y), что Y(x₀)=Y₀ имеет единственное решение.

 Важно понимать, что теорема Коши имеет локальный характер: существование решения Y = Y(x) гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки x₀ , ( h > 0 может оказаться достаточно малым).

Важно также понимать, что теорема содержит только достаточные условия существования и единственности решения — при нарушении условий теоремы задача Коши может иметь или не иметь решений, может иметь несколько решений.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений n–го порядка Y ' = F(x,Y), и пусть вектор-функция Y = Φ(x) — решение системы, определённое на промежутке [a, b].

Множество точек Φ(x), x∈ [a,b] — кривая в пространстве R_Yⁿ. Эту кривую называют фазовой траекторией системы (или простотраекторией, или фазовой кривой), а пространство R_Yⁿ, в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством системы.

Интегральная кривая системы определяется уравнением Y = Φ(x), x∈ [a,b], и изображается в (n +1)-мерном пространстве R_Y, xⁿ⁺¹.

Фазовая траектория — это проекция интегральной кривой на пространство R_Yⁿ.

На рисунке изображена интегральная кривая в пространстве R_Y, x²⁺¹ и фазовая траектория в пространстве R_Y²:

Структура общего решения однородной системы. Рассмотрим линейную однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

 Здесь

Справедлива следующая теорема о структуре общего решения этой системы.

Если матрица A(x) неперерывна на [a, b], то общее решение системы Y' = A(x)Y имеет вид

Y(x) = Φ(x)·C ≡ C₁·Y₁(x) + C₂·Y₂(x) + ... + C_n· Y_n(x),

где Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы,   Y₁(x), Y₂(x), ..., Y_n(x) — столбцы этой фундаментальной матрицы решений, C— произвольный постоянный вектор-столбец.

Структура решений неоднородной системы. Рассмотрим неоднородную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка

теорема о структуре общего решения этой неоднородной линейной системы ОДУ.

Если матрица A(x) и вектор-функция b(x) неперерывны на [a, b], и пусть Φ(x) — фундаментальная матрица решений однородной линейной системы Y' = A(x)Y , то общее решение неоднородной системы Y' = A(x)Y + b(x) имеет вид:

где C — произвольный постоянный вектор-столбец, x₀ — произвольная фиксированная точка из отрезка [a, b].

Из приведенной формулы легко получить формулу решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ — формулу Коши.

Решением задачи Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀ является вектор-функция

Решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений Y ' = F(x,Y) называется вектор–функция Y(x) = Φ(x) , которая определена и непрерывно дифференцируема на промежутке (a; b) и удовлетворяет системе Y ' = F(x,Y) на этом промежутке.

Задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений называется следующая задача: найти решение Y(x)системы Y ' = F(x,Y) такое, что Y(x₀) = Y₀ . Здесь

Частным решением системы дифференциальных уравнений называется решение какой–нибудь ее задачи Коши.

Вектор–функция Y = Y(x, C) = Y(x, C₁,C₂, … , C_n) , зависящая от n произвольных постоянных C₁,C₂, … , C_n называется общим решением системы дифференциальных уравнений на [a; b] , если:

— при любых допустимых значениях постоянных C₁,C₂, … , C_n функция Y(x, C) является решением системы на [a;b] ;

— какова бы ни была начальная точка (x₀, Y₀) из области определения правой части системы, существуют такие значения C*₁,C*₂, … , C*_n постоянных C₁, C₂, … , C_n , что функция

Y(x, C*₁,C*₂, … , C*_n ) является решением задачи Коши Y(x₀) = Y₀ .

Пусть Y(x) = Φ(x) — решение системы, определенное на [a, b] . Тогда множество точек {Φ(x)}, x ∈ [a, b] — кривая в пространствеR_n .

Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство R_n , в котором расположены фазовые траектории, фазовым пространством системы.

Пусть Y(x) = Φ(x) — решение системы Y ' = F(x,Y) , определенное на [a,b] .

Интегральная кривая системы определяется уравнением Y = Φ(x) и изображается в (n + 1)–мерном пространстве R_n+1

Фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство R_n.