Метод вариации постоянных

Предположим, что общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка известно и представляется формулой

Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) заключается в том, что вместо постоянных чисел C₁,C₂,..., C_n мы рассматриваем функции C₁(x), C₂(x),..., C_n(x). Эти функции подбираются таким образом, чтобы решение

удовлетворяло исходному неоднородному уравнению.  Производные n неизвестных функций C₁(x), C₂(x),..., C_n(x) определяются из системы n уравнений:

Определителем этой системы является вронскиан функций Y₁, Y₂,..., Y_n, образующих фундаментальную систему решений. В силу линейной независимости этих функций определитель не равен нулю и данная система однозначно разрешима. Окончательные выражения для функций C₁(x), C₂(x),..., C_n(x) находятся в результате интегрирования.

Метод неопределенных коэффициентов

Если правая часть f(x) дифференциального уравнения представляет собой функцию вида

где P_n(x), Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно, то для построения частного решения можно использовать метод неопределенных коэффициентов.  В этом случае мы ищем частное решение в форме, соответствующей структуре правой части уравнения. Так, например, для функции

частное решение имеет вид

где A_n(x) − многочлен той же степени n, как и P_n(x). Коэффициенты многочлена A_n(x) определяются прямой подстановкой пробного решения y₁(x) в неоднородное дифференциальное уравнение.  В так называемом резонансном случае, когда число α в показательной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, в частном решении появляется дополнительный множитель x^s, где s равно кратности корня. В нерезонансном случае полагают s = 0.  Такой же алгоритм применяется, когда правая часть уравнения задана в виде

Здесь частное решение имеет аналогичную структуру и записывается как

где A_n(x), B_n(x) − многочлены степени n (при n ≥ m), а степень s в дополнительном множителе x^s равна кратности комплексного корня α ± βi в резонансном случае (т.е. при совпадении чисел α и β с комплексным корнем характеристического уравнения), и, соответственно, s = 0 в нерезонансном случае.

Принцип суперпозиции для лнду

Для линейных неоднородных уравнений справедлив принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом. Пусть правая часть f(x) представляет собой сумму двух функций:

Предположим, что y₁(x) является решением уравнения

а функция y₂(x) является, соответственно, решением второго уравнения

Тогда сумма функций

будет являться решением линейного неоднородного уравнения

ЛНДУ С ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ СПЕЦ-О ВИДА А)Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = P_n(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде  , где Q_n(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как   - частное решение уравнения  , то коэффициенты, определяющие многочлен Q_n(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства  .

Б) Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты  , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде  , где Q_n(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных  . Коэффициенты многочлена Q_n(x)определяются из равенства  .

В) Если функция f(x) имеет вид  , где А₁ и В₁ – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как  , гдеА и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных  . Коэффициенты многочленаА и В находятся из равенства  .

Г)Если  ,то  , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных   P_n(x),Q_k(x), L_m(x) и N_m(x) - многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов L_m(x) и N_m(x) находятся из равенства  .

Уравнением Эйлера называется однородное дифференциальное уравнение вида

xⁿy⁽ⁿ⁾ + a_n-1x^n-1y^{(n - 1)} + ... + a₁xy' + a₀y = 0.

Коэффициенты a_n-1, ... , a₁, a₀ — постоянные десйствительные числа.

Если функция y(x) — решение уравнения Эйлера, то функция Cy(x) тоже является решением уравнения.

Уравнение Эйлера заменой x = e^t сводится к однородному линейному уравнению с постоянными коэффициентами.

Выполним замену x = e^t, перейдём к новой переменной t = ln x :

Здесь α_ij — коэффициенты, которые легко вычисляются при последовательном дифференцировании.

После подстановки в уравнение имеем:

Решим это однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами — его общее решение g = g(t,C₁, C₂, ... ,C_n).Вернувшись к переменной x, получим общее решение уравнения Эйлера: y(x,C₁, C₂, ... ,C_n) = g(lnx,C₁, C₂, ... ,C_n).