Определение особого решения

Функция φ(x) называется особым решением дифференциального уравнения F(x,y,y') = 0, если единственность решения нарушается в каждой точке этой функции в области определения дифференциального уравнения. Геометрически это означает, что через каждую соответствующую точку (x₀,y₀) проходит более одной интегральной кривой с общей касательной. Особое решение дифференциального уравнения не описывается общим интегралом. Поэтому, оно не выводится из общего решения ни при каком значении постоянной C. Одним из способов нахождения особого решения является исследование так называемого p-дискриминантадифференциального уравнения. Если функция F(x,y,y') и ее частные производные  ,   непрерывны в области определения дифференциального уравнения, то особое решение находится из системы уравнений:

Уравнение ψ(x,y) = 0, которое получается при решении данной системы, называется p-дискриминантомдифференциального уравнения. Соответствующая кривая, определенная этим уравнением, называется p-дискриминантной кривой. 

Огибающая семейства интегральных кривых и C-дискриминант Другой способ нахождения особого решения в виде огибающей семейства интегральных кривых основан на использовании C-дискриминанта.  Пусть Φ(x,y,C) является общим решением дифференциального уравнения F(x,y,y') = 0. Графически уравнениеΦ(x,y,C) = 0 соответствует семейству интегральных кривых на плоскости xy. Если функция Φ(x,y,C) и ее частные производные непрерывны, то огибающая семейства интегральных кривых общего решения определяется системой уравнений:

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем случае имеет вид:

где F − непрерывная функция указанных аргументов.  Порядок уравнения можно понизить, если оно не содержит некоторых аргументов или обладает определенной симметрией. Ниже мы рассмотрим подробнее некоторые случаи понижения порядка применительно к дифференциальным уравнениям произвольного n-го порядка. Случай 1. Уравнение вида  F(x, y ^(k), y ^(k+1),..., y ⁽ⁿ⁾) = 0

Если дифференциальное уравнение не содержит исходной функции и ее k − 1 первых производных, то с помощью замены

порядок такого уравнения понижается на k единиц. В результате исходное уравнение преобразуется к виду

Из полученного уравнения (если это возможно) определяется функция p(x). Первоначальная функция y(x)находится последующим k-кратным интегрированием.  Если дифференциальное уравнение не содержит лишь исходную функцию y, т.е. имеет вид

то его порядок можно понизить на единицу с помощью замены  y' = p(x).

Случай 2. Уравнение вида  F(y, y', y'',..., y ⁽ⁿ⁾) = 0

Здесь левая часть не содержит независимой переменной x. Порядок уравнения можно понизить с помощью замены  y' = p(y). Производные записываются через новые переменные y и p следующим образом:

Видно, что при подстановке производных в исходное уравнение мы получим новое дифференциальное уравнение (n − 1)-го порядка. Решая это уравнение, можно определить функцию p(y) и затем найти y(x).

Случай 3. Однородное уравнение  F(x, y, y', y'',..., y ⁽ⁿ⁾) = 0

Уравнение F(x, y, y', y'',...,y ⁽ⁿ⁾) = 0 называется однородным относительно аргументов y, y', y'',...,y ⁽ⁿ⁾, если выполняется тождество

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу с помощью подстановки

где z(x) − новая неизвестная функция.  После определения z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле

где C₁ − произвольное число.

Случай 4. Функция  F(x, y, y', y'',..., y ⁽ⁿ⁾) является точной производной

В некоторых случаях левую часть F(x, y, y', y'',...,y ⁽ⁿ⁾) дифференциального уравнения можно представить как полную производную по x от дифференциального выражения (n − 1)-го порядка:

Тогда решение исходного уравнения записывается в виде

где C − произвольная постоянная. 

Линейно зависимые и независимые системы функций Функции   называются линейно зависимыми на некотором множестве Т, если существуют такие константы  , что   выполняется следующее равенство:

 (1) среди коэффициентов  есть хотя бы один, не равный нулю.

Определитель Вронского (вронскиан). Пусть функции   непрерывны вместе с своими производными (до  порядка включительно) на интервале  . Определитель Вронского (вронскиан) указанной системы функций задаётся следующей формулой: Для того, чтобы функции   были линейно независимыми на  , достаточно, чтобы   хотя бы в одной точке интервала  . Отметим, что это условие является достаточным, но не необходимым. Т.е., если   для всех значений переменной из интервала  , то про линейную зависимость функций   в общем случае ничего определённого сказать нельзя.

Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

Коэффициенты уравнения a_n-1(x), a_n-2(x), ..., a₁(x), a₀(x) и правую часть f(x) полагаем непрерывными на отрезке [a;b] .

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x) — неоднородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка,

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0 — однородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка,

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n –го порядка:

L(y) ≡ y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y.

L(y) = 0 и L(y) = f(x) — соответственно однородное и неоднородное уравнения в операторной записи.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения.

Если в уравнении y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x) все коэффициенты a_i(x) и правая часть f(x) непрерывны на отрезке[a;b] , то задача Коши для этого уравнения с начальными условиями

y(a) = y₀,   y '(a) =  y_1,0 ,  ...,  y^{(n − 1)} (a) = y_n,0

имеет единственное на всем отрезке [a;b] решение y = y(x) . Решение существует и единственно всюду, где непрерывны коэффициенты и правая часть уравнения.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0.

Справедливо следующее необходимое и достаточное условие линейной независимости решений этого уравнения.

Решения y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейного однородного дифференциального уравнения линейно независимы на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда определитель Вронского этих функций W(x ; y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка[a; b] .

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами записывается в виде

где a₁, a₂,..., a_n − постоянные числа, которые могут быть действительными или комплексными.  Используя линейный дифференциальный оператор L(D), данное уравнение можно представить в виде

где

Для каждого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами можно ввестихарактеристический многочлен

Алгебраическое уравнение

называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.  Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их кратности. При этом корни уравнения могут быть как действительными, так и комплексными (даже если все коэффициентыa₁, a₂,..., a_n действительные).  Рассмотрим более детально различные случаи корней характеристического уравнения и соответствующие формулы общего решения дифференциального уравнения.

Случай 1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные

Предположим, что характеристическое уравнение L(λ) = 0 имеет n корней λ₁, λ₂,..., λ_n. В этом случае общее решение дифференциального уравнения записывается в простом виде:

где C₁, C₂,..., C_n − постоянные, зависящие от начальных условий.

Случай 2. Корни характеристического уравнения действительные и кратные

Пусть характеристическое уравнение L(λ) = 0 степени n имеет m корней λ₁, λ₂,..., λ_m, кратность которых, соответственно, равна k₁, k₂,..., k_m. Ясно, что выполняется условие

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

Видно, что в формуле общего решения каждому корню λ_i кратности k_i соответствует ровно k_i членов, которые образуются умножением x в определенной степени на экспоненциальную функцию exp(λ_i x). Степень xизменяется в интервале от 0 до k_i − 1, где k_i − кратность корня λ_i.

Случай 3. Корни характеристического уравнения комплексные и различные

Если коэффициенты дифференциального уравнения являются действительными числами, то комплексные корни характеристического уравнения будут представляться в виде пар комплексно-сопряженных чисел:

В этом случае общее решение записывается как

Случай 4. Корни характеристического уравнения комплексные и кратные

Здесь каждой паре комплексно-сопряженных корней α ± iβ кратности k соответствует 2k частных решений

Тогда часть общего решения дифференциального уравнения, соответствующая данной паре комплексно-сопряженных корней, конструируется следующим образом:

Метод Эйлера. Попытаемся найти решение уравнения в виде y(x) = exp(λx). Подставляем функцию и ее производные в уравнение y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n - 1)} + ... + a₁y' + a₀y = 0. Поскольку exp(λx) ≠ 0, функция y(x) = exp(λx) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда

λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0.

Уравнение λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0 называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Многочлен n-й степени P_n(x) = λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀называется характеристическим многочленом уравнения.

Справедливо следующее утверждение (теорема Эйлера).

Для того чтобы функция y(x) = exp(λ₀x) была решением уравнения y⁽ⁿ⁾ + a_n-1y^{(n - 1)} + ... + a₁y' + a₀y = 0, необходимо и достаточно, чтобы число λ₀ было корнем характеристического уравнения λⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₁λ + a₀ = 0. 

Из теоремы Эйлера следует следующее утверждение.

Если числа λ₁≠ λ₂≠ ... ≠ λ_n — различные действительные корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, то функции exp(λ₁x), exp(λ₂x), ..., exp(λ_nx) образуют ФСР этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

y(x) = C₁exp(λ₁x) + C₂exp(λ₂x)+ ...+ C_nexp(λ_nx).

ЛНДУ Данные уравнения имеют вид

где a₁, a₂,..., a_n − действительные или комплексные числа, а правая часть f(x) является непрерывной функцией. Общее решение y(x) неоднородного уравнения представляется в виде суммы общего решения y₀(x)соответствующего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

При произвольной правой части f(x) для поиска общего решения неоднородного уравнения используется метод вариации постоянных. В случае, если правая часть представляет собой произведение многочлена и экспоненциальной функции, частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов.