Дифференциальное уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид  . При n = 1 это дифференциальное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными  .

Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной  . Действительно, при такой замене имеем   и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид

Так дифференциальное уравнение Бернулли приводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение.

Уравнения в полных дифференциалах  Если для любых значений x и y выполняется  , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dyпредставляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0, то есть, dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y) = 0 по ее полному дифференциалу.

Линейные уравнения первого порядка Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Здесь a(x) и b(x) — известные, непрерывные на [a;b] функции.

Если функции a(x) и b(x) непрерывны на [a;b] , то для любой начальной точки (x₀, y₀) , x₀∈ [a; b] , задача Коши

имеет единственное решение y = y(x) на [a;b].

 

Рассматривают однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка:

Метод Бернулли.

метод решения дифференциального уравнения Бернулли, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения функций u(x) и v(x).

В этом случае  . После подстановки в уравнение Бернулли    получаем

Если в качестве функции v взять ненулевое частное решение дифференциального уравнения  , то придем к равенству   откуда и определим функцию u.

ДУ не разрешенные относительно производной. Уравнение вида

где F –непрерывная функция, называется уравнением первого порядка,не разрешенным относительно производной.               

Случай 1. Уравнение вида x=f(y,y').

В этом случае переменная x выражается явно через переменную y и ее производную y'. Введем параметр  . Продифференцируем уравнение x = f(y,y') по переменной y. Получаем:

Поскольку  , то последнее выражение можно переписать в виде:

Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого описывается функцией

где C − произвольная постоянная.  Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений:

Если из этой системы исключить параметр p, то общее решение можно выразить в явном виде x = f(y,C).

Случай 2. Уравнение вида y=f(x,y').

Здесь мы встречаемся с похожим случаем, но теперь переменная y явно зависит от x и y'. Введем параметр  и продифференцируем уравнение y = f(x,y') по переменной x. В результате имеем:

Решая последнее дифференциальное уравнение, получаем алгебраическое уравнение g(x,p,C) = 0. Вместе с исходным уравнением оно образует следующую систему уравнений:

которая описывает общее решение заданного дифференциального уравнения в параметрической форме. В некоторых случаях, когда параметр p можно исключить из системы, общее решение записывается в явной форме y = f(x,C).

Case 3. Уравнение вида x=f(y').

В данном случае дифференциальное уравнение не содержит переменную y. Используя параметр  , легко построить общее решение уравнения. Так как dy = pdx и

то справедливо соотношение:

Интегрируя последнее уравнение, получаем общее решение в параметрической форме:

Случай 4. Уравнение вида y=f(y').

Уравнение такого типа не содержит переменную x и решается аналогичным образом. Используя параметр  , можно записать:   Отсюда следует, что

Интегрируя последнее выражение, получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме:

Уравнение Лагранжа

Дифференциальное уравнение вида

где φ(y') и ψ(y') − известные функции, дифференцируемые на некотором интервале, называется уравнением Лагранжа.  Полагая  y' = p и дифференцируя по переменной x, получаем общее решение уравнения в параметрической форме:

при условии, что

где p − параметр.  Уравнение Лагранжа может также иметь особое решение, если нарушается условие φ(p) − p ≠ 0. Особое решение определяется функцией

где c − корень уравнения φ(p) − p = 0.

Уравнение Клеро

Уравнение Клеро имеет вид:

где ψ(y') − некоторая нелинейная дифференцируемая функция. Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа, когда φ(y') = y'. Оно решается аналогичным образом с помощью введения параметра. Общее решение определяется выражением

в котором C − произвольная постоянная.  Также как и уравнение Лагранжа, уравнение Клеро может иметь особое решение, которое выражает в параметрической форме:

где p − параметр. 

1. Интегрирующий множитель зависит от переменной x: µ = µ (x).

В этом случае мы имеем  , поэтому уравнение для µ(x,y) можно записать в виде:

Правая часть этого уравнения должна быть только функцией от x. Функцию µ(x) можно найти, интегрируя последнее уравнение.

2. Интегрирующий множитель зависит от переменной y: µ = µ (y).

Аналогично, если  , то мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, определяющее интегрирующий множитель µ:

где правая часть зависит только от y. Функция µ(y) находится интегрированием данного уравнения.