Дифференциальные уравнения — это соотношение вида F(x₁,x₂,x₃,..,y,y',y'',...y⁽ⁿ⁾) = 0, связывающее независимые переменные x₁,x₂,x₃,... функцию y этих независимых переменных и ее производные до n-го порядка. При этом функция F определена и достаточное число раз дифференцируема в некоторой области изменения своих аргументов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, в которых содержится только одна независимая переменная.

Дифференциальные уравнения в частных производных — это дифференциальные уравнения, в которых содержится две и более независимых переменных.

Классификация дифференциальных уравнений

Порядок дифференциального уравнения — это порядок старшей входящей в него производной.

Степень дифференциального уравнения — это показатель степени, в которую возведена производная наивысшего порядка.Вот пример уравнения первого порядка второй степени:

Решение дифференциального уравнения — это функция y(x), определенная и достаточное число раз дифференцируемая в некоторой области, при подстановке которой в исходное уравнение получается тождество. Интеграл дифференциального уравнения — это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид. Решение дифференциального уравнения в квадратурах — это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.

Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n. Количество постоянных равно порядку уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения — это соотношение вида y = y(x,C₁,C_2,C₃,...C_n), зависящее от n произвольных постоянных.

Общий интеграл дифференциального уравнения — это общее решение, которое имеет неявный вид Ф(x,y,C₁,C_2,C₃,...C_n) = 0.

Частное решение дифференциального уравнения — это общее решение при заданных значениях постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n.

Частный интеграл дифференциального уравнения — это общий интеграл при заданных значениях постоянных C₁,C_2,C₃,...C_n.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида 

Дифференциальные уравнения   можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x). В этом случае приходим к уравнению y’=g(x)\F(x), которое будет эквивалентно исходному приf(x) ≠ 0. Если существуют значения аргумента x, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения f(x)*y’=g(x) при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида   или 

Дифференциальные уравнения   называют уравнениями с разделенными переменными.

Общее решение дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно найти, проинтегрировав обе части равенства: ∫f(y)dy = ∫f(x)dx. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными приводятся к ОДУ с разделенными переменными делением обеих частей уравнения на произведение f₂(y) ⋅ g₁(x). То есть, получим  . Такое преобразование будет эквивалентным, если одновременно f₂(y) ≠ 0 и g₁(x) ≠ 0. Иначе могут потеряться некоторые решения.

Некоторые дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены переменных.

Дифференциальные уравнения   приводятся к ОДУ с разделяющимися переменными подстановкой z = ax+by. К ОДУ   или   преобразуются к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замен   или  . Дифференциальные уравнения   преобразуются к только что рассмотренным ОДУ   или  , если ввести новые переменные  , где   - решение системы линейных уравнений   и провести некоторые преобразования.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка .Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения: y(x) = u(x)v(x).