3. Факторы

После того, как выбран объект исследования и параметр оптимизации, необходимо рассмотреть все существенные факторы, которые могут влиять на процесс. Если какой либо существенный фактор останется неучтенным это приведет к неверным результатам всего эксперимента. Фактором называется измеряемая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Каждый фактор имеет область определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать данный фактор. Область определения может быть непрерывной и дискретной. Факторы разделяются на два вида количественные и качественные. Качественные факторы – это различные вещества, аппараты, технологические способы, исполнители и т.п. Количественные факторы – это факторы, которые можно оценивать количественно, т.е. взвешивать, измерять и т.п.

При планировании эксперимента факторы должны быть управляемыми. В этом состоит особенность активного эксперимента.

Чтобы точно определить фактор необходимо указать последовательность действий, с помощью которых устанавливаются его конкретные значения (уровни). Такое определение фактора называется операционным. Так, например, если фактором является давление в каком-либо аппарате, необходимо указать в какой точке, и при помощи какого прибора оно измеряется и как оно устанавливается. Введение операционного определения фактора обеспечивает однозначное его понимание. С операционным определением связаны выбор размерности фактора и точность его фиксирования. Точность замера фактора должна быть по возможности наиболее высокой.

Факторы должны быть однозначны и непосредственно воздействовать на объект исследования.

При планировании эксперимента обычно одновременно изменяется несколько факторов. Поэтому важно сформулировать требования к совокупности факторов. Прежде всего, выдвигается требование совместимости факторов. Совместимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и безопасны.

При планировании эксперимента важна независимость факторов, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне зависимости от уровней других факторов. Если это условие невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент.

4. Выбор модели

Под моделью понимается вид функции отклика y = f(x₁, x₂, …,x_k). Выбрать модель – это значит определить вид функции и записать ее уравнение. Геометрическим аналогом функции отклика является поверхность отклика. В случае множества факторов геометрическая наглядность теряется. Рассмотрим два фактора влияющих на какой-либо процесс. По одной оси координат отложим в некотором масштабе значения (уровни) одного фактора, по другой оси значения (уровни) другого фактора. У каждого фактора есть минимально и максимально возможные значения, между которыми он может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. Если факторы совместимы, то границы образуют на плоскости некоторый прямоугольник, рисунок 2. Пунктирными линиями обозначены границы областей каждого из факторов, а сплошными границы их совместной области определения. Чтобы указать значения параметра оптимизации, необходима еще одна ось координат. Если ее построить, то поверхность отклика будет выглядеть, как представлено на рисунке 2.

Рисунок 2 – Область определения факторов и поверхность отклика

Пространство, в котором строится поверхность отклика, называется факторным пространством. Оно задается координатными осями, по которым откладываются значения факторов и параметра оптимизации. Размерность факторного пространства зависит от числа факторов. При многих факторах поверхность отклика уже нельзя изобразить наглядно. Но для двух факторов можно даже не переходить к трехмерному пространству, а ограничиться плоскостью. Для этого достаточно произвести сечение поверхности отклика плоскостями, параллельными плоскости Х₁0Х₂ и полученные в сечении линии спроецировать на эту плоскость, рисунок 3.

Рисунок 3 – Проекция сечений поверхности отклика на плоскость

Точка М на рисунке 3 есть оптимальная область, которую необходимо определить. Каждая линия соответствует постоянному значению параметра оптимизации. Такая линия называется линией равного отклика.

Цель планирования эксперимента – построить математическую модель, чтобы с ее помощью предсказывать значения откликов в тех состояниях, которые не изучались экспериментально. Метод планирования эксперимента основан на шаговом принципе. В факторном пространстве выбирается какая-то точка, называемая базисной. Рассматривается множество точек в ее окрестности, т.е. выбирается некоторая подобласть в области определения факторов. Проводится эксперимент на основании, которого строится первая модель. Эту модель используют для предсказания результатов опытов в тех точках, которые не входили в эксперимент. Если эти точки лежат внутри области, то такое предсказание называется интерполяцией, а если вне – экстраполяцией. Чем дальше от области эксперимента лежит точка, тем с меньшей точностью предсказывается результат. Поэтому экстраполировать необходимо недалеко и использовать результаты экстраполяции для выбора условий проведения следующего опыта. Дальше цикл повторяется. Шаговый принцип используется в методе Гаусса-Зейделя. Он состоит в том, что сначала последовательно изменяются значения одного фактора. Затем находится и фиксируется наилучшее значение этого фактора. В этих условиях последовательно изменяются значения второго фактора и т.д.

Главное требование к модели – это способность предсказывать направления дальнейших опытов и предсказывать с требуемой точностью. Так как до получения модели, неизвестно какое направление понадобится необходимо, чтобы точность предсказаний во всех направлениях была одинакова. Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели значение отклика не должно отличаться от фактического больше, чем на некоторую заранее заданную величину. Модель, которая удовлетворяет такому требованию, называется адекватной. Если несколько различных моделей удовлетворяют требованию адекватности, то выбирают наиболее простую математическую модель. При исследовании технологических процессов пищевых производств необходимо предпочитать степенные ряды. Точнее отрезки степенных рядов – алгебраические полиномы. Построение полинома возможно в окрестностях любой точки факторного пространства.

Эксперимент нужен только для того, чтобы найти численные значения коэффициентов полинома. Поэтому, чем больше коэффициентов, тем больше опытов необходимо. Значит необходимо найти такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявленным к модели. Чем ниже степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше в нем коэффициентов. Необходимо, чтобы модель предсказывала направление наискорейшего улучшения параметра оптимизации. Такое направление называется направлением градиента.