5. Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Практика выдвигает задачи, при решении которых приходится иметь дело с различными распределениями случайных величин. Наиболее часто встречается закон нормального распределения непрерывной случайной величины.

Определение: Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид:

f(x)=

(20)

где М (Х) – математическое ожидание, σ = σ(Х) - среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, которая принимает значения в точках интервала (–∞; + ∞).

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в заданный интервал (α;β) вычисляется по формуле.

Р (α <X<β)=Φ Φ

(21)

где, Ф(х)= функция Лапласа для определения значений которой используется таблица в конце вышеуказанного учебника (Приложения),

ф (0) = 0; ф (–х)= – ф (х).

Задача 10. Найти вероятность того, что случайная величина Х, подчиненная нормальному закону распределения, окажется заключенной в интервале (20; 50), если a =30, σ=10.

Решение: Воспользуемся формулой (25), учитывая, что α=20, β=50, а=30, σ=10. Ρ(20<X<50)=Φ( =

=Ф(2)–Ф(-1)=Ф(2) +Ф(1)≈0,4772+0,3413=0,8185.

6. Элементы математической статистики

Рассмотрим характеристики случайных величин на основе опытных данных.

Определение: Генеральной совокупностью называется множество всех однородных объектов, подлежащих изучению.

Определение: Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.

Определение: Объемом совокупности называется число объектов этой совокупности.

Определение: Последовательность наблюденных значений случайного признака Х генеральной совокупности, расположенных в порядке возрастания, называется вариационным рядом:

х₁,х₂,……,х_n, (22)

а сами значения называются вариантами, то есть х_i – варианта, i=1,2,……,n.

Пусть n – объем выборки , Х – изучаемая случайная величина, которая в результате наблюдений значение х_i принимает т_i раз; т_i называется частотой варианты х_i , а отношение называется относительной частотой варианты, прием .

Размах выборки R – разность между максимальным и минимальным элементами выборки.

Естественной формой эмпирического закона распределения (этап обработки вариационного ряда) является статистический ряд – таблица частот, выборочный ряд – таблица относительных частот, полигон распределения, гистограмма, эмпирическая функция распределения.

Часто возникает задача нахождения подходящих приближенных значений (оценки) неизвестных параметров распределения количественного признака Х генеральной совокупности по данным выборки. Ниже рассмотрены определения статистических оценок параметров распределения: точечной и интервальной.

Определение: Точечной называют оценку неизвестного параметра распределения, которая определяется одним числом.

Выборочная средняя:

(23)

используется в качестве точечной оценки математического ожидания признака (случайной величины) Х генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия:

(24)

используется в качестве точечной оценки дисперсии признака Х генеральной совокупности.

Выборочное среднее квадратическое отклонение:

(25)

Исправленное среднее квадратическое отклонение:

(26)

Выборочной модой М₀ распределения называют варианту выборки с наибольшей частотой.

Выборочной медианой m_е называют число, которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число вариант.

Определение: Интервальной называют оценку неизвестного параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Определение: Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью (доверительной вероятностью) покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки неизвестного параметра – математического ожидания а нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

φ_γ= (27),

где =δ – точность оценки, n – объем выборки, t – значение функции Лапласа ф(t) (таблица в приложении учебника), при котором ф(t)= , где γ – надежность. При неизвестном σ доверительный интервал для оценки математического ожидания а имеет вид:

(28),

где s исправленное среднее квадратическое отклонение, t_γ находится по таблице значений функции t_γ=t(n,γ) по заданным n и γ (Таблица в приложении учебника).

Для оценки среднего квадратического отклонения σ нормально распределенного количественного признака Х с надежностью γ по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s служат доверительные интервалы:

(S(1-q); S(1+q)) (при q<1) (29)

(0 ; S(1+q)) (при q>1) (30),

где q находится по таблице значений функции q=q(n, γ) по заданным n и γ. (Таблица в приложении учебника).

Задача 11. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

2,0 2,6 2,8 2,4 2,8 2,2 2,0 2,6

2,6 2,6 2,4 2,2 2,4 2,8 2,4 2,6

2,4 2,4 2,4 2,2 2,6 2,0 2,0 2,8

2,2 2,8 2,6 2,2 2,0 2,8 2,0 2,8

2,4 3,2 2,6 3,2 2,6 2,6 3,0 2,2

Признак Х имеет нормальное распределение.

Требуется: 1)Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения. Найти размах выборки. По полученному распределению выборки: 2) Построить полигон относительных частот; 3) Построить график эмпирической функции распределения; 4) Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану; 5) С надежностью γ=0,95 найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Решение: 1. Вариационный ряд состоит из различных чисел: 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,2; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,4; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,6; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 2,8; 3,0; 3,2; 3,2.

Статистический ряд – таблица частот имеет вид: Таблица 2

xi	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0	3,2
ni	6	6	8	10	7	1	2

В первой строке таблицы числа вариационного ряда, а во второй – их частоты.

Выборочный ряд – таблица относительных частот имеет вид:

Таблица 3

xi	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0	3,2
wi	0,15	0,15	0,2	0,25	0,175	0,025	0,05

Размах выборки равен разности R=3,2–2,0=1,2

2. Полигон относительных частот – графическое изображение выборочного ряда распределения. По оси абсцисс откладываются значения вариант x_i, а по оси ординат значения соответствующих относительных частот w_i, точки (x_i, w_i) соединяются отрезками прямых, образующих ломаную (рис. 5).

Р ис. 5. Полигон относительных частот Рис. 6. График эмпирич. функции

3. Эмпирическая функция распределения F*(x)= , где n_x – число вариант, меньших х, n – объем выборки. Объем выборки n=40. Наименьшая варианта равна 2,0 – следовательно при х≤2,0 F*(x)=0, так как значение Х <2,0 не наблюдалось. Следующее значение варианты 2,2 – следовательно при 2,0<х≤2,2 F*(x)=0,15, так как значение Х<2,2 наблюдалось 6 раз. Проводим и далее аналогичные рассуждения. Искомая эмпирическая функция имеет вид:

0 при х≤2,0

0,15 при 2,0< х≤2,2

0,3 при 2,2< х≤2,4

F*(x) = 0,5 при 2,4< х≤2,6

0,75 при 2,6< х≤2,8

0,925 при 2,8< х≤3,0

0,95 при 3,0< х≤3,2

1 при 3,2< х

4. Используя формулы (23), (24), (25) определения моды и медианы находим: выборочную среднюю:

= =2,485;

выборочную дисперсию:

D_в=

;

исправленное среднее квадратическое отклонение: ;

моду: М₀=2,6; медиану: т_е (2,4; 2,6).

5.Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид (31). Находим t=2,023 по таблице значений функции t_γ=t(γ,n) при γ=0,95, n=40.

=2,485, S=0,323, тогда у_γ=(2,485-2,023 ; 2,485+2,023 );

у_γ=(2,382; 2,588).

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид (29). Находим q=0,24<1 по таблице значений функции q= q(γ, n) при γ=0,95, n=40. S=0,323, тогда γ=(0,323(1-0,24); 323(1+0,24)); γ=(0,245; 0,401).

Задача 12. Для выборки, извлеченной из генеральной совокупности, дан интервальный статистический ряд.

αi-βi	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	30-35	35-40	40-45	45-50
n*i	7	8	15	18	23	19	14	10	6

Требуется: 1) построить полигон интервальных относительных частот; 2)

построить кумулятивную кривую; 3) построить гистограмму относительных частот; 4) найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочную моду и выборочную медиану; 5) проверить на уровне значимости α=0,05 гипотезу о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности по критерию согласия Пирсона; 6) в случае согласованности с нормальным распределением найти с надежностью γ=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения признака Х генеральной совокупности.

Решение: Объем выборки n= .

Составим таблицу 5, в которой α_i-β_i-i-й интервал, n количество вариант, попадающих в i – й интервал, х – интервальная варианта – середина интервала, х ( i= 1,2, …,9), W (i = 1,2, …,9) – интервальная относительная частота, – накопленная интервальная относительная частота, u_i – условная варианта.

Таблица 5

i	αi-βi	x	n				ui	u	ui n	u
1	5–10	7,5	7	0,06	0,06	0,012	–4	16	–28	112
2	10–15	12,5	8	0,07	0,13	0,014	–3	9	–24	72
3	15–20	17,5	15	0,12	0,25	0,024	–2	4	–30	60
4	20–25	22,5	18	0,15	0,40	0,030	–1	1	–18	18
5	25–30	27,5	23	0,19	0,59	0,038	0	0	0	0
6	30–35	32,5	19	0,16	0,75	0,032	1	1	19	19
7	35–40	37,5	14	0,12	0,87	0,024	2	4	28	56
8	40–45	42,5	10	0,08	0,95	0,016	3	9	30	90
9	45–50	47,5	6	0,05	1	0,010	4	16	24	96
Σ	–	–	120	1	–	–			1	523
Σ∕n	–	–	–	–	–	–			0,008	4,358

1. Полигон интервальных относительных частот ломаная линия с вершинами в точках (х_i*,w_i i=1,2,…,9 (рис. 7).

Рис. 7. Полигон интервальных относительных частот.

2. Кумулятивная кривая – ломаная линия с вершинами в точках (β_i, ), i=1,2,…,9, где β_i – правый конец i-го интервала группировки (рис. 8).

Рис. 8. Кумулятивная кривая

3. Гистограмма относительных частот – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями – интервалами ( i,β_i) и высотами равными (i=1,2,…,9)(рис. 9).

Рис. 9. Гистограмма относительных частот

4. Найдем ,D_в, σ_в. Используем таблицу 5. Применим метод условных вариант для случая интервальной группировки. Условия варианта u_i= , , = , =4,358, =h +c=5·0,008+27,5=27,54, D_вu= - =4,358-(0,008)²=4,358; D_вх=h² D_вu=5²·4,358≈108,95, σ_вx= .

В случае интервальной группировки формула для нахождения выборочной моды имеет вид:

М₀= +h .

Формула для нахождения медианы имеет вид:

т_е= +h .

5. Для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия согласия Пирсона составим расчетную таблицу 6, в которой Z_i ; s= - исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Р_i= , для f(x)= имеется таблица значений.

Таблица 6

i	-βi			zi	f(zi)	рi	npi	- npi	( - npi)2	( - npi) npi
1	5-10	7,5	7	1,8959	0,0656	0,0310	3,720	4,280	18,3184	4,924
2	10-15	12,5	8	1,4228	0,1456	0,0688	8,256	6,744	45,481	5,509
3	15-20	17,5	15	0,9498	0,2541	0,1202	14,424	0,576	0,332	0,023
4	20-25	22,5	18	0,4768	0,3555	0,1682	20,184	-2,184	4,769	0,236
5	25-30	27,5	23	0,0037	0,3989	0,1887	22,644	0,356	0,127	0,006
6	30-35	32,5	19	0,4692	0,3572	0,1689	20,268	-1,268	0,608	0,079
7	35-40	37,5	14	0,9422	0,2565	0,1213	14,556	-0,556	0,309	0,021
8	40-45	42,5	10	1,4153	0,1456	0,0688	8,256	1,744	3,041	0,368
9	45-50	47,5	6	1,8883	0,0669	0,0316	3,792	2,208	4,875	1,286
∑			120			1				12,452

Наблюдаемое значение статистики Пирсона χ²_набл.=12,5.

Определяем критическую точку статистики Пирсона по таблице значений χ ² при α=1-γ=1–95=0,05, к=т-3=9–6, χ ²_кр.= χ ²_0,05(6)=12,6.

Сравним χ ²_набл. и χ ²_кр.: χ ²_набл. < χ ²_кр..

И в соответствии с разрешающим правилом критерия Пирсона гипотеза, нормальности согласуется с данной выборкой.

6. Доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид: n=120, =27,54, S=

По таблице значений функции t_γ=t(γ,n) при γ=0,95 и n=120 находим t_γ=1,98, доверительный интервал:

у_γ= , у_γ=(25,63; 29,45).

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения имеет вид:

(s(1-q); s(1+q)) (при q<1), s=10,57. По таблице значений функции q=q(γ,n) при γ=0,95 и n=120.

Находим q=0,13<1.

у_γ= (10,57(1-0,13); 10,57(1+0,13)),

у_γ=(9,20; 11,94)