3. Схема Бернулли повторных независимых испытаний
Если произведена серия из п независимых испытаний, результатом каждого из которых является появление события А или противоположного ему события Ā, причем вероятность появления события А в каждом испытании одна и таже, и равна р, а Р (Ā ) = 1 –р = q, то имеет место схема Бернулли.
Формула Бернулли:
-
,(8)
где m=0,1,2,...,n определяет вероятность того, что в n испытаниях Бернулли событие А появится m раз.
Задача 7. Машина – экзаменатор содержит 10 вопросов, на каждые из которых предлагается 4 варианта ответов. Положительная оценка ставится машиной в том случае, когда экзаменующийся отвечает правильно не менее, чем на 7 вопросов. Какова вероятность ответить правильно на 5 вопросов? Какова вероятность получения положительной оценки, выбирая ответ наудачу?
Решение:
Всего вопросов n=10.
Вероятность ответить на вопрос правильно
p=
,
так как на каждый вопрос предлагается
4 варианта ответов, среди которых один
правильный. Вероятность ответить
правильно на 5 вопросов из данных 10 можно
подсчитать на формуле Бернулли (10), так
как имеем дело со схемой Бернулли. n=10,
т=5,
p=
,
q=1–р,
то есть q=
,
Р10(5)=
=
=
≈0,0584.
Обозначим
через В
событие, состоящее в получении
положительной оценки, тогда
В=В7+В8+В9+В10=
Вi,
где событие Вi
– экзаменующийся ответит правильно на
i
вопросов.
Вероятность события В.
Р(В)=Р(В7)+Р(В8)+Р(В9)+Р(В10)=С710
р7
q3+С810
р8
q2+
С910
р9
q1+
С1010
р10
q0
=
(
)7(
)3+
(
)8(
)2+
(
)9(
)1+
(
)10(
)0=
+
+
+
=
(4·10·34+5·34+10·3+1)
≈0,0035.
4. Случайные величины
Определение: Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от множества случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X,Y,Z,…, а их возможные значения буквами x,y,z,…. Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.
Дискретная случайная величина принимает конечное или счетное множество значений, а всевозможные значения непрерывной случайной величины сплошь заполняют некоторый интервал.
Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Законы распределения дискретной случайной величины: ряд распределения; функция распределения; многоугольник распределения. Законы распределения непрерывной случайной величины: функция распределения F(х), плотность распределения f (х).
Некоторые часто встречающиеся формулы:
F(х)= Р (Х <х ) (9)
f (x) = F'(х) (10)
(11)
P(α <Х < β)=F(β)-F(α) (12)
Р(α<х<β)=
f
(x)dx,
(13)
Числовые характеристики случайной величины позволяют выразить в сжатой форме существенные особенности распределения случайной величины.
Для дискретной случайной величины (случай конечного множества значений) математическое ожидание определяется по формуле:
М(х)=х1 р1 +х2 р2 + ……+хn pn , (14)
дисперсия (рабочая формула)
D(x)=M(x2)-
(15)
среднее квадратическое отклонение
σ(Х)=
.
(16)
Для непрерывной случайной величины: математическое ожидание
М(Х)=
хf(x)dx
(17)
дисперсия (рабочая формула)
-
D(X)=
x2f(x)dx-
(18)
cреднее квадратическое отклонение
σ(Х)=
.
(19)
Задача 8. Монета брошена три раза. Составить ряд распределения вероятностей случайной величены Х – числа выпадений герба. Построить многоугольник распределения случайной величины Х, найти функцию распределения F(X) и построить ее график. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(Х).
Решение: Вероятность появления герба в каждом испытании ( бросании монеты) равна р= , следовательно, вероятность непоявления герба q можно определить по формуле q=1–р, то есть q=1– = . При трех бросаниях монеты герб может совсем не появиться, либо появиться один раз, два, либо три раза. Таким образом, возможные значения величины Х: х0=0; х1=1; х2=2; х3=3.
Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли (10) при т=0,1,2,3.
Р(Х=0)=Р3(0)=С03
р0q3=(
)3=
;
Р(Х=1)=Р3(1)=С13
р1q2=
(
)1(
)2=
;
Р(Х=2)=Р3(2)=С23
р2q1=
(
)2
=
;
Р(Х=3)=Р3(3)=С33 р3q0= ( )3= ;
Запишем искомый закон биноминального распределения в виде распределения (таблица 1).
Таблица 1
-
xi
0
1
2
3
pi
Рис.1. Многоугольник распределения
В целях контроля
вычислений сложим вероятности всех
возможных значений
pi=
+
+
+
=1(что
и следовало ожидать).
Построим многоугольник распределения (рис.1).
Составим функцию распределения F(X):
1.
<х≤0,
F(x)=0,
2. 0<x≤1,
F(x)=
P(X=xi)=P(X=0)=
,
3. 1<x≤2,
F(x)=
P(X=xi)=
Pi=
+
=
,
4. 2<x≤3,
F(x)=
P(X=xi)=
Pi=
+
+
=
,
5. 3<x≤+∞,
F(x)=
P(X=xi)=
Pi=
+
+
+
=1.
И
ли:
0 при -∞<x≤0;
при 0<x≤1;
F(x)= при 1<x≤2;
при 2<x≤3;
1 при 3<x≤+∞.
Рис. 2. График функции распределения
Составленную функцию распределения изобразим графически (рис. 2).
Найдем математическое ожидание М(Х):
М(Х)=
xi
pi=0
+1
+2
+3
=
.
Найдем математическое ожидание М(Х2):
М(Х2)= xi2 pi =02 +12 +22 +32 =3.
Найдем дисперсию Д(Х)=М(Х2) – =3 – ( )2= ,
Среднее квадратическое
отклонение равно: σ(х)=
=
=
≈0,87.
Задача 9. Случайная величина Х задана функцией распределения.
Найти: а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х окажется в пределах промежутка (0;1); б) плотность распределения вероятностей f(x), построить графики F(x), f(x); в) математическое ожидание М(Х), дисперсию Д(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).
Решение: а)
Пользуясь формулой Р(α<X<β)=F(β)-F(α),
найдем Р(0<X<1)=
F(1)–F(0)=
.
б) По формуле f(x)= F'(x) находим:
.
Р
x
ис.3.
График функции F(x)
Рис.4. График функции f(x)
в) Найдем
математическое ожидание по формуле :
М(Х)=
.
М(Х)=
=
+
+
=
=
=
=
.
Для вычисления дисперсии Д(Х) воспользуемся формулой Д(Х)= М(Х2)- . Вычислим М(Х2):
М(Х2)=
=
+
+
=
=
=
=
=1.
Д(Х)= М(Х2)–
=1-
.
Среднее квадратическое отклонение σ(Х) вычисляем по формуле:
σ(Х)=
,
σ(Х)=
.