3.4Симплекс-метод

Симплекс-методявляетсяметодомрешениязадачЛП.Онвпервыеиспользовалсялауре-атомНобелевскойпремиисоветскимученымКанторовичемв1939г.иописанвтомвиде,вкоторомсуществуетсейчас,Данцигомв1947г.

ОписаниеметодапроведемдлязадачиЛПвстандартнойформе:

Такжедолжновыполнятьсяb≥0.

^z=cx→max,

Ax=b,x≥0.

Рассмотримследующийпример.Фирмапроизводиткраскудлянаружныхивнутренних

работизисходныхматериаловМ1иМ2.Расходматериаловиихзапасыпредставленывтаблице.

Исх.мат./Краска	Длянаруж.раб. (тоннна1тонну)	Длявнутр.раб. (тоннна1тонну)	Суточныезапасы (тонн)
М1	6	4	24
М2	1	2	6

Рынокнакладываетследующиеограничения:краскидлявнутреннихработможнопроиз-вестивденьнеболее,чемна1тоннубольше,чемкраскидлянаружныхработ,икраскидлявнутреннихработтребуетсянеболее2тоннывдень.Доходотпроизводства1тонныкраскидлянаружных(внутренних)работравен5(4)млн.рублей.Требуетсясоставитьоптимальныйпланвыпускакрасокнадень.

Математическаямодель:

^z=5x₁^+4x₂^→max,

^6x₁^+4x₂^≤24,

^x₁^+2x₂^≤6,

^−x₁^+x₂^≤1,

^x₂^≤2,

^x₁^,x₂^≥0.

Приведемпостроеннуюзадачукстандартнойформе:

z=5x₁₊4x₂₊0x₃₊0x₄₊0x₅₊0x_6→max,

6x₁₊4x₂₊x₃₌24,x₁₊2x₂₊x₄₌6,

^−x1^+x2^+x5^=1,

x₂₊x₆₌2,x₁,...,x_6≥0.

Выделимединичнуюподматрицувматрицеограничений.Соответствующиепеременныеназываютсябазисными.Ониобразуютбазис.Остальныепеременныеназываютсянебазис-нымиилисвободными.

Симплекс-методосуществляетнаправленныйперебордопустимыхбазисныхрешений,вкоторыхбазисныепеременныенеотрицательны,анебазисныеравнынулю.Этотпроцесссоответствуетпереходуотоднойугловойточкимногогранникаограниченийкдругойвнаправлениинеуменьшениязначенияцелевойфункции.

Представимзадачуввидесимплекснойтаблицы:

Базис	z	x1 x2 x3 x4 x5 x6	Значение
z	1	-5 -4 0 0 0 0	0
x3 x4 x5 x6	0 0 0 0	6 4 1 0 0 0 1 2 0 1 0 0 -1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1	24 6 1 2

Таблица1:Симплекс-таблица1

Симплекс-метод.

Шаг0.Находимначальноедопустимоебазисноерешение.

Шаг1.Определяемвводимуюпеременнуюx_in(ведущийстолбец):этонебазиснаяпере-меннаяснаименьшимотрицательнымкоэффициентомвстрокеz.Есливсекоэффициентывстрокеzнеотрицательны,топостроенноебазисноерешениеоптимально.

Еслисуществуетнебазиснаяпеременнаясотрицательнымкоэффициентомвстрокеz,всекоэффициентыкоторойвматрицеограниченийнеположительны(столбецвсимплекс-таблице),тозначениецелевойфункциинеограничено(можетбытьбесконечнобольшим).Шаг2.Определяемвыводимуюпеременнуюx_out(ведущуюстроку):этобазиснаяпере-меннаяснаименьшимнеотрицательнымзначениемотношенияb_out/a_out,in.Элементa_out,inнапересеченииведущейстрокииведущегостолбцаназываетсяведущим.

Шаг3.Пересчитываемсимплекс-таблицу,применяяметодГаусса(получаемведущийэлементравным1иостальныеэлементывведущемстолбцеравными0):

–модифицированнаяведущаястрока=ведущаястрока,деленнаянаведущийэлемент,

–(любаядругаястрока,включаястрокуz):модифицированнаястрока=(строка)-(еекоэффициентвведущемстолбце)×(модифицированнаяведущаястрока).

ПовторяемШаг1.

Отметим,чтовыборведущегостолбцаиведущейстрокиможетбытьнеоднозначным.Покабудемсчитать,чтовтакомслучаевыборпроизволен.

Внашемпримеревводимаяпеременная-x₁,выводимаяпеременная-x₃,иноваясимплекс-таблицаимеетвид(пересчиталитаблицуиобозначениеx_3впервомстолбцезаменилинаx₁):

Далее,вводимаяпеременная-x₂,выводимаяпеременная-x₄,иноваясимплекс-таблицаимеетвид:Посколькувсекоэффициентыстрокиzнеотрицательны,полученноерешение(x₁,...,x₆)=(3,3/2,0,0,5/2,1/2)созначениемцелевойфункцииz=21оптимально.

Базис	z	x1 x2 x3 x4 x5 x6	Значение
z	1	0 -2/3 5/6 0 0 0	20
x1 x4 x5 x6	0 0 0 0	1 2/3 1/6 0 0 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 0 5/3 1/6 0 1 0 0 1 0 0 0 1	4 2 5 2

Таблица2:Симплекс-таблица2

Базис	z	x1 x2 x3 x4 x5 x6	Значение
z	1	0 0 3/4 1/2 0 0	21
x1 x2 x5 x6	0 0 0 0	1 0 1/4 -1/2 0 0 0 1 -1/8 3/4 0 0 0 0 3/8 -5/4 1 0 0 0 1/8 -3/4 0 1	3 3/2 5/2 1/2

Таблица3:Симплекс-таблица3

Такимобразом,оптимальныйпланвыпускакрасокнаденьвключаетпроизводство3тоннкрасокдлянаружныхработи1.5тонныкраскидлявнутреннихработ.

M-метод.Иногдавозникаетпроблемавыбораначальногодопустимогобазисногореше-ния,например,когдаединичнаяподматрицавматрицеограниченийнепросматривается.Тогдаможноввестиискусственнуюпеременнуювкаждоеограничение-равенствоипо-ложитьеекоэффициентвцелевойфункцииравнымдостаточнобольшомуотрицатель-

^{номучислу−M.ТакойметодполученияначальногодопустимогобазисаназываетсяM-}

методом.

Посколькустолбец,соответветствующийискусственнойпеременной,неявляетсяединич-нымвисходнойтаблицеM-метода,доначалаприменениясимплекс-методаисходнуютаб-лицунужнопреобразоватьтак,чтобыполучитьнуливместозначенийMвстрокеz.Возможностьзацикливания.Внекоторыхслучаяхсимплекс-методчерезнесколькоитерацийможетвернутьсякранееопределенномубазисномурешениюидалеевозвра-

^{щатьсякнему∞числораз.Этаситуация,например,можетвозникнуть,когдаприn=2}

ввершинемногогранникаограниченийпересекаетсяболее2прямых,т.е.когданекоторые

ограниченияявляютсянесущественными.Вэтомслучаенекоторыебазисныепеременныеравняются0ибазисназываетсявырожденным.Длятого,чтобыизбежатьзацикливания,приразработкематематическоймоделижелательноизбегатьизлишнихограничений.Кро-метого,зацикливанияможноизбежать,применяяследующееправило:

-вкачествеведущеговыбиратьстолбецсотрицательнымкоэффициентом(необязательнонаименьшим!)снаименьшимномеромвстрокеz.

-вкачествеведущейвыбиратьстрокуснаименьшимнеотрицательнымзначениемотно-шенияb_out/a_out,inснаименьшимномером.

Указанноеправилоделаетвыборведущегоэлементаоднозначным.