2.2Многокритериальныезадачи

ВзадачахИСО,какправило,присутствуетнеодин,анесколькопризнаковпредпочтения

(критериев).Такиезадачиназываютсямногокритериальными.

Критериимогутоказатьсяпротиворечивыми,т.е.решение,лучшеепоопределенномупри-знаку,можетоказатьсяхудшимподругомупризнаку.Например,минимизациястоимостиимаксимизациякачестватоварапочтивсегдапротиворечивы.Вэтомслучаезадачаотыс-каниярешения,предпочтительногоповсемпризнакам,будетнекорректной,т.е.небудетиметьниодногорешения.

Вслучаепротиворечивыхкритериев,ИСОпредлагаетследующиеподходыкотысканиюподходящегорешения.

^{1)Заменанекоторыхкритериевограничениямивида≤или≥.Например,минимизация}

^{стоимостиf(x)→min,можетбытьзамененаограничениемвидаf(x)≤A,гдеA–неко-}

тораяверхняяоценкастоимости,т.е.максимальнодопустимаястоимость.

2)Сверткакритериев.Создаетсяодинглобальныйскалярныйкритерий,целеваяфункциякоторогоявляетсянекоторойфункциейотисходныхцелевыхфункций.Наиболееупо-требимымиявляютсялинейныесверткивидаαf(x)+βg(x)(вслучаедвухкритериев).Нетривиальнойявляетсязадачаотысканияадекватныхзначенийкоэффициентовαиβ,отражающихотносительнуюважностьцелевыхфункцийf(x)иg(x).

3)Ранжированиекритериев.Критерииранжируютсяпостепениважности.

4)Отысканиерешений,лучшиххотябыпоодномукритерию.

Подходы1)и2)приводяткоднокритериальнойзадаче.Подход3)приводиткзадачесупорядоченнымикритериями.Взадачесупорядоченнымикритериямикритерииупоря-дочиваютсяповажностиитребуетсянайтиоптимальноерешениедлянаименееважногокритериянамножестверешений,оптимальныхдляболееважногокритерия(см.Рис.1).Самоебольшое–множествовсехдопустимыхрешений,внеговложеномножествореше-

^{✬ ✩}

_{✬ ✩}

^{✬ ✩}

Оптимальныепосамомуневажномукритериюсредиоптимальныхпо

^...

^{✫ ✪}

Оптимальныепосамомуважномукритерию

^{✫ ✪}

_{Вседопустимыерешения}

^{✫ ✪}

Рис.1:Решениезадачисупорядоченнымикритериями

ний,оптимальныхпосамомуважномукритерию,далеевложеномножествооптимальныхрешенийповторомуповажностикритериюсредиоптимальныхпопервомукритерию,ит.д.

Подход4)приводиткзадачеснезависимымикритериями.Вэтойзадачетребуетсянай-тимножествонедоминируемых(эффективных)решений.Недоминируемоерешениелучшелюбогодругогодопустимогорешенияхотябыпоодномукритериюлибонехужеповсемкритериям.МножествонедоминируемыхрешенийтакженазываетсямножествомПаре-то.

Примермногокритериальнойзадачиснезависимымикритериями.Фирмапоразработкепрограммногообеспечениядолжнавыполнитьпроекты1и2впоследователь-ности(1,2).Длявыполнениякаждогопроектаможнопривлечьoтодногодотрехиспол-нителей.Пустьx_1иx_2–числоисполнителей,привлеченныхдлявыполненияпроектов

^{1и2соответственно.Времявыполненияпроектаiравноt}_i^(x_i^{)месяцев,асоответствую-}

щаястоимость–c_i(x_i)млн.рублей.Требуетсяминимизироватьобщеевремявыполненияпроектовприминимальнойстоимости.

Значенияфункцийзаданыследующимобразом:

x	1	2	3
t1(x)	2	1	1
t2(x)	3	1	1
c1(x)	1	2	3
c2(x)	4	4	5

ОбщеевремявыполненияпроектовравноT(x₁,x₂)=t₁(x₁)+t₂(x₂),астоимостьихвы-полненияравнаC(x₁,x₂)=c₁(x₁)+c₂(x₂).

^{Определим все возможные значения пар (T,C) = (T(x}1^,x2^),C(x1^,x2^{)) ∈}

^{{(2,6),(2,7),(2,8), (3,5),(3,6),(4,6),(4,7),(5,5)}. Соответствующие значения аргу-}

ментов(x₁,x₂)∈{(2,2),{(2,3),(3,2)},(3,3),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(1,1)},см.Рис.2.ЗадачаотысканиямножестваПаретовслучаедвухкритериеввидаF₁(x)→minи

F₂

✻

⁸ _•

^{7 • •}

^{6 •••}

^{5 • •}

✲

^{2345 F}₁

Рис.2:ОтысканиемножестваПарето

F₂(x)→minможетбытьрешенаграфическиследующимобразом.НаходимвсеточкиснаименьшимзначениемF₁(x).Еслиихнесколько,выбираемизнихточкуснаименьшимзначениемF₂(x).ВключаемеевмножествоПарето.ОтсекаемточкисбольшимилиборавнымизначениямиF₁(x)иF₂(x)(cеверо-восточныйуголсвершинойввыбраннойточке).Повторяемпроцедурудляоставшейсячастидопустимойобласти.

Изрисункавидно,чтодлянаспредставляютинтереспары(F₁,F₂)∈{(2,6),(3,5)}исоответствующиерешения(x₁,x₂)∈{(2,2),(1,2)},которыеявляютсянедоминируемыми

иобразуютмножествоПареторассматриваемойзадачи.