9Динамическоепрограммирование

Динамическоепрограммирование(ДП)являетсяуниверсальнымметодомрешенияэкс-тремальныхзадач.РассмотримДПкакпроцесспостроениямножествчастичныхрешенийисходнойзадачиивыбораизэтихмножествдоминирующихрешенийтаких,чтохотябыодноизнихможетбыть”достроено”дооптимального.Притакомподходепроцессреше-ниянекоторойзадачиможетбытьорганизованследующимобразом.Дляопределенности,рассмотримзадачуминимизации

^{f(x)→min,x∈X.}

БудемформироватьмножестваX₀,X₁,...,X_{nчастичных}решений,гдемножествоX_k+1

получаетсяизмножестваX_kпутем”достраивания”каждогорешенияизX_k.Оптимальноерешениеx^{∗выбирает}сяизмножестваX_n.

^{Скаждымчастичнымрешениемx∈X}k^{будемсвязыватьнекоторыйнаборпараметров}

^B=(k,b₁^,...,b_i^{),называемыхпеременнымисостояния.НаборBпеременныхсостояния}

называетсясостоянием.

^ПустьX_k^{(B)обозначаетмножествочастичныхрешенийx∈X}_k^{всостоянии(соответству-}

ющихсостоянию)B.ПустьB(x)обозначаетсостояниечастичногорешенияx.

ВметодеДПскаждымсостояниемBсвязываетсяфункциядоминированияF(B)такая,чточастичноерешение,находящеесявсостоянииBимаксимизирующее(либоминими-зирующее)F(B),доминируетвсеостальныечастичныерешениявсостоянииB,т.е.эточастичноерешениеможетбытьдостроенодополногодопустимогорешенияснаимень-шимзначениемцелевойфункциисредивсехполныхдопустимыхрешений,достроенныхизлюбогочастичногорешениявсостоянииB.

ИзопределенияфункцииF(B)следует,чтовкаждоммножествеX_k(B)достаточновы-братьдоминирующеерешениедлядальнейшихпостроений.

ОбозначимчерезSмножествовсехвозможныхсостояний.Этомножествоназывается

пространствомсостояний.

ВметодеДПрекуррентновычисляютзначенияF(B)инаходятсостояние,соответствую-щееоптимальномурешению.Затемвосстанавливаютсамооптимальноерешение.

ДляпримененияметодаДПнеобходимокорректноопределить

1)пространствосостоянийS,

^{2)функциюдоминированияF(B),B∈S,}

^{3)способпостроениячастичныхрешенийx1∈Xk+1изчастичныхрешенийx∈Xk,}

^{4)методвычислениясостоянияB(x1),используясостояниеB(x),еслиx1∈Xk+1”достроен”}

^{изx∈Xk,и}

5)рекуррентнуюформулудлявычислениязначенийF(B).

ПримералгоритмаДП.Вкачествепримерарассмотримследующуюзадачу.Служа-щийдолженвыполнитьnработкзаданномусрокуd,начинаясмоментавремениноль.Длякаждойработыjзаданадлительностьвыполненияp_jиштрафw_j,выплачиваемыйсслучаезавершенияjпослеd.Всепараметрыявляютсянеотрицательнымицелымичис-лами.Требуетсянайтитакуюпоследовательностьвыполненияработ,чтобысуммарныйштрафбылнаименьшим.

Призаданнойпоследовательностиработ(i₁,...,i_n)легкоопределитьмоментзавершения

_j

^{выполнениякаждойработыi}j^:Ci_j⁼

_k=1^pi_k^.

^{ВведемврассмотрениепеременныеU}_j^:U_j^{=1,еслиработаjявляетсязапаздывающей}

^(Cj^>d),иUj^{=0,еслиjявляетсяранней(C}j^{≤d).Требуетсянайтитакуюпоследова-}

j=1

тельностьработ,чтозначение ⁿ

^w_j^U_j^{минимально.}

Заметим,чтоназначениецелевойфункциивлияетлишьинформацияотом,какиеработыявляютсязапаздывающими,акакиеранними.Поэтомусуществуетоптимальнаяпоследо-вательностьработ,вкоторойвсеранниеработыупорядоченыпроизвольноивсезапазды-вающиеработыупорядоченыпроизвольноирасположеныпослепоследнейраннейработы.

Тогдазадачаможетбытьсформулированаследующимобразом:

приусловиях

nj=1

n

w_jUj→min

j=1

и

^pj^(1−Uj^)≤d,

ЭтазадачаNP-трудна.

^U_j^{∈{0,1},j=1,...,n.}

_{ПустьU∗=(U∗,...,U∗)–оптимальныйвектордляэтойзадачииW∗–соответствующее}

1 n

значениецелевойфункции.

Сформулированнаязадача,всвоюочередь,можетбытьпроинтерпретированавтерминах

ДПследующимобразом.

Будемформироватьчастичныерешения,определяяпеременныеU_j=0либоU_j=1дляj=1,...,n.Будемговорить,чточастичноерешение(U₁,...,U_k)находитсявсо-стоянии(k,a),еслиопределенызначенияпеременныхU₁,...,U_kизначениеограничения

k

_j=1^pj^(1−Uj^)=a.

Переменныесостояниямогутприниматьзначенияk=0,1,...,nиa=0,1,...,d.

Изначальногосостояния(0,0)можноперейтивсостояние(1,0),прикоторомU₁₌1,либовсостояние(1,p₁),гдеU₁₌0,еслиp_1≤d.

Рассмотримнекотороесостояние(k,a),k∈{2,...,n}.Вэтосостояниеможноперейтитолькоизсостояния(k−1,a),еслиU_k=1,либоизсостояния(k−1,a−p_k),еслиU_k=0.

j=1

_{ОпределимфункционалдоминированияF(k,a)какзначениецелевойфункции} ^k

w_jUj,

вычисленноедлярешенийвсостоянии(k,a).ИзопределенияфункционалаF(k,a)следует,

что

^{W∗=min{F(n,a)|a=0,1,...,d}.}

ЗначенияF(k,a)могутбытьвычисленырекуррентно.ДляинициализациирекуррентныхвычисленийположимF(0,0)=0иF(k,a)=∞длявсех(k,a)/=(0,0).

ИзопределенияфункцииF(k,a)следует,чтообщеерекуррентноесоотношениеможетбытьзаписанокак

F(k,a)=min{F(k−1,a)+w_k,F(k−1,a−p_k)}, (2)

k=1,...,n,a=0,1,...,d.

Приэтом,еслиF(k,a)=F(k−1,a)+w_k,товчастичномрешении,соответствующемсостоянию(k,a),переменнаяU_k=1.ЕслижеF(k,a)=F(k−1,a−p_k),товэтомрешении

U_k=0.

_{Обратныйход.ОптимальноерешениеU}^∗_{можетбытьнайденоспомощьюследующей}

процедуры,называемойобратныйход.Этапроцедураиспользуеттаблицуразмерности

^{n×(d+1),вкаждойячейке(k,a)которойхранитсяинформацияотом,напервойили}

второйкомпонентедостигаетсяминимумв(2)дляуказанныхзначенийkиa.Накаж-

дойитерацииэтойпроцедурыпроверяется,напервойиливторойкомпонентедостигаетсяминимумв(2)дляопределенныхзначенийkиa.Напервойитерацииполагаемk=nиa=a^∗,гдеa^{∗определяет}сяизW^∗=F(n,a^∗).Еслиминимумв(2)достигаетсянапер-

k

^{войкомпоненте,тополагаемU∗=1,k:=k−1,оставляемaбезизмененийипереходим}

k

кследующейитерациипроцедурыобратногохода.Еслиминимумдостигаетсянавторойкомпоненте,тополагаемU^∗=0,a:=a−p_k,k:=k−1,ипереходимкследующейитерации.ПослевыполненияnитерацийбудетпостроеноптимальныйвекторU^∗=(U^∗,...,U^∗).

^{1 n}

Времяработыитребуемаяпамять.ЭффективностьалгоритмаДПопределяетсяеговременнойсложностьюиобъемомтребуемойпамяти.Анализалгоритмадлярассматри-ваемойзадачипоказывает,чтовычислениеF(k,a)требуетвыполненияоднойоперациисложенияиоднойоперациисравнениядлякаждойпары(k,a).Такимобразом,временнаясложностьэтогоалгоритмаравнаO(nd).

Чтокасаетсяобъемапамяти,тоследуетотметить,чтодлявычисленияоптимальногозна-ченияцелевойфункцииW^∗накаждомшагеkдостаточнохранитьтаблицуразмерности

2×(d+1)созначениямиF(k−1,a)иF(k,a),a=0,1,...,d.ДляотысканияоптимальноговектораU^∗достаточноприменитьпроцедуруобратногохода,котораятребуетn(d+1)

дополнительныхединицпамяти.

Изприведенногоанализаможносделатьвывод,общийдлявсехалгоритмовДП:времен-наясложностьиобъемтребуемойпамятиалгоритмаДПнепосредственнозависятотмощностисоответствующегопространствасостояний.

k

Выборпространствасостояний.ПрямыеиобратныеалгритмыДП.Какпра-вило,существуетнескольковариантовдлявыборапространствасостояний.Например,длярассматриваемойзадачиможноввестисостояния(k,w)такие,чточастичноере-шениенаходитсявсостоянии(k,w),еслиопределенызначенияпеременныхU₁,...,U_kи

_i=1^wi^Ui^{=w.ВэтомслучаефункционалF(k,w)определяетсякакнаименьшеезначение}

i=1

ограничения ^k

^pi^(1−Ui^{)длярешенийвсостоянии(k,w).Рекуррентноесоотношение}

можнозаписатьввиде

F(k,w)=min

^(F(k−1,w)+p_k, еслиF(k−1,w)+p_k≤d,F(k−1,w−w_k)

k=1

СоответствующийалгоритмДПтребуетO(n ⁿ

w_k)единицвремениипамяти.

АлгоритмыДП,вкоторыхчастичныерешенияформируютсяотначалакконцу,какэтоделаетсявприведенныхвышеалгоритмах,называютсяпрямыми.Альтернативныйподходсостоитвпостроениичастичныхрешенийотконцакначалу.Такиеалгоритмыназыва-ютсяобратными.Например,рассматриваемаязадачаможетбытьрешенавпространстве

состояний(k,a)следующимобразом.ПолагаемF(n+1,0)=0,всеостальныеначальныезначенияF(k,a)равнымибесконечностиивычисляем

F(k,a)=min{F(k+1,a−p_k),F(k+1,a)+w_k}

дляk=n,n−1,...,1иa=0,1,...,d.Оптимальноезначениецелевогофункционаларавно

^{W∗=min{F(1,a)|a=0,1,...,d}.}

ЧисловойпримеррешениязадачиорюкзакеметодомДП.

F(x)=x₁₊2x₂₊x₃₊x₄₊2x₅₊x₆₊2x_7⇒max,

B(x)=2x₁₊x₂₊2x₃₊2x₄₊x₅₊x₆₊x_7≤5,x_i∈{0,1}.

X0	(0)
F(x)	0
B(x)	0

X1	(0)	(1)
F(x)	0	1
B(x)	0	2

X2	(0,0)	(0,1)	(1,0)	(1,1)
F(x)	0	2	1	3
B(x)	0	1	2	3

X3	(0,0,0)	(0,0,1)	(0,1,0)	(0,1,1)	(1,0,0)	(1,0,1)	(1,1,0)	(1,1,1)
F(x)	0	1	2	3	1	2	3	4
B(x)	0	2	1	3	2	4	3	5

3предпоследниечастичныерешениярешенияможнодальшенерассматривать,таккак

естьдоминирующие.Далеедостраиваемтолькодоминирующие.

X4	(0,0,0,0)	(0,0,0,1)	(0,0,1,0)	(0,0,1,1)	(0,1,0,0)	(0,1,0,1)	(0,1,1,0)	(0,1,1,1)	(1,1,1,0)	(1,1,1,1)
F(x)	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
B(x)	0	2	2	4	1	3	3	5	5	7

X5	(0,0,0,0,0)	(0,0,0,0,1)	(0,0,0,1,0)	(0,0,0,1,1)	(0,1,0,0,0)	(0,1,0,0,1)	(0,1,1,1,0)	(0,1,1,1,1)
F(x)	0	2	1	3	2	4	4	6
B(x)	0	1	2	3	1	2	5	6

X6	(0,0,0,0,0,0)	(0,0,0,0,0,1)	(0,0,0,1,0,0)	(0,0,0,1,0,1)	(0,0,0,1,1,0)	(0,0,0,1,1,1)	(0,1,0,0,1,0)	(0,1,0,0,1,1)
F(x)	0	1	2	3	3	4	4	5
B(x)	0	1	1	2	3	4	2	3

X7	(0,0,0,0,0,0,0)	(0,0,0,0,0,0,1)	(0,0,0,0,0,1,0)	(0,0,0,0,0,1,1)	(0,0,0,1,0,0,0)	(0,0,0,1,0,0,1)
F(x)	0	2	1	3	2	4
B(x)	0	1	1	2	1	2

X7	(0,0,0,1,0,1,0)	(0,0,0,1,0,1,1)	(0,1,0,0,1,0,0)	(0,1,0,0,1,0,1)	(0,1,0,0,1,1,0)	(0,1,0,0,1,1,1)
F(x)	3	5	4	6	5	7
B(x)	2	3	2	3	3	4

_{Оптимальноерешениеx}^∗_{=(0,1,0,0,1,1,1)созначениемцелевойфункцииF(x}^∗_)=7.