8Основытеориисложностивычислений

Втеориисложностивычисленийвводитсяпонятиетрудноразрешимой(NP-трудной)зада-чи.Существованиеэффективного(быстрого)алгоритмарешенияхотябыоднойизтруд-норазрешимыхзадачвлечетсуществованиетакогородаалгоритмадлялюбойизтакихзадач.Изэтогоследует,чтодлятрудноразрешимыхзадачсуществованиеэффективныхалгоритмоврешениямаловероятно.

Задачираспознаванияиэкстремальныекомбинаторныезадачи.Подзадачейрас-познавания(свойствобъектов)будемпониматьнекоторыйобщийвопрос,предполагаю-щийответ”да”,еслирассматриваемыйвэтомвопросеобъектобладаетсвойствами,описан-нымивформулировкевопроса.Объектиегосвойстваописываютсяспомощьюнекоторыхпараметров,конкретныезначениякоторыхвобщейформулировкевопросаотсутствуют.Параметрамимогутбытьмножества,графы,числа,функцииит.п.

Примерзадачиполучаетсяпризаменевсехимеющихсявобщейформулировкезадачипа-раметровихконкретнымизначениями.Примерназываетсяда-примером,еслиприсоот-ветствующихзначенияхпараметровобъектобладаетуказаннымивформулировкезадачисвойствами.

Экстремальнаякомбинаторнаязадачасостоитвследующем.НаконечноммножествеX¹

определенфункционалF(x),x∈X¹.НеобходимовзаданномподмножествеXмножестваX^1отыскатьтакойэлементx^∗,чтоF(x^∗)=min{F(x)|x∈X}(задачаминимизации),либотакойx⁰,чтоF(x⁰)=max{F(x)|x∈X}(задачамаксимизации).

_{СопоставимэкстремальнойзадачеBследующуюзадачураспознаванияB}¹_{:определить,}

^{существуетлитакойэлементx1взаданноммножествеX,чтоF(x1)≤y(либоF(x1)≥y}

вслучаезадачимаксимизации)дляданногодействительногочислаy.Очевидно,еслиx^∗

^{решениезадачиминимизацииB,тоэлементx1∈Xтакой,чтоF(x1)≤y,существует}

^{тогдаитолькотогда,когдаF(x∗)≤y.Такимобразом,экстремальнаязадачанепроще}

соответствующейзадачираспознавания.

Разумныесхемыкодирования.Посколькузадачиинтересуютнассточкизренияраз-работкиалгоритмовихрешенияиреализацииэтихалгоритмовнаЭВМ,входныеданныезадачидолжныбытькаким-тообразомзакодированы.Схемакодированиясопоставляетцепочкусимволовкаждомупримерузадачи.

Оценкавычислительнойсложностиалгоритмарешениязадачи–этофункцияотдлинызаписивходнойинформациизадачи,т.е.оназависитотвыбраннойсхемыкодирования.

Можноподобратьсхемукодирования,котораядаеточеньдлинныекодыпримеровзадачи,такчтопочтилюбойалгоритмбудетэффективнымотносительнодлинтакихкодовимынесможемопределить,какойалгоритмлучше.Крометого,схемакодированияможетвыдаватькодысущественноразнойдлиныдляразныхпримероводнойитойжезадачи.Вэтомслучаенепонятнокакопределятьвычислительнуюсложностьалгоритма–наоднихпримерахонбудетэффективным,надругихнет.

Этиидругиепротиворечиябудутустранены,еслипользоватьсятакназываемымиразум-нымисхемамикодирования.Будемговорить,чтосхемакодированияявляетсяразумной,еслионаудовлетворяетследующимнеформальнымусловиям.

(а)Кодпримеразадачидолженбытькомпактныминедолженсодержатьнеобязатель-нуюинформациюилисимволы.

(б)Числаизпримеразадачидолжныбытьпредставленывдвоичной,либокакой-нибудьинойсистемесчислениясоснованием,отличнымотединицы.

Системасчислениясоснованием,равным1,называетсяунарной.Вэтойсистемечисло3представляетсяввиде111,число4ввиде1111ит.д.(какзарубкиудревнихлюдей).Вунарнойсистемесчислениядляпредставленияцелогочислаxтребуетсяxединицпамяти.Вдвоичнойсистемесчислениявсечислапредставляютсяввидепоследовательностейдвухчисел:0и1.Число3представляетсяввиде11,число4ввиде100,число5ввиде101ит.д.ДляпредставленияцелогочислаxтребуетсяO(log_2x)нулейиединиц(единицпамяти).

^{ФункцияO(x)определяетсяследующимобразом:}

_lim

^x→∞

O(x)

x

=const.

(в)Схемакодированиядолжнаобладатьсвойствомдекодируемости,т.е.длякаждогопараметразадачидолженсуществоватьполиномиальныйалгоритм,способныйвыделитькодэтогопараметраизкодалюбогопримеразадачи.

(г)Схемакодированиядолжнаобеспечиватьоднородностьприкодированииразличныхпримероводнойитойжезадачи.Однородностьозначает,чтосхемакодированиядолжнаобеспечиватьдлялюбыхдвухразличныхпримеровзадачиполучениекодов,”близких”подлине,еслиэтипримерысодержатблизкиеповеличинечислаиколичествопараметроввобоихпримерахприблизительноодноитоже.

Выполнениеусловияоднородностиможетбытьобеспеченособлюдениемследующегопро-стогоправила.Схемакодированиянедолжназаниматьсяраспознаваниемспецифическихсвойствкодируемогопримеразадачи.Припостроениикодаконкретногопримеразадачи

схемаможетиспользоватьлишьтесвойства,которыенепосредственноуказанывфор-мулировкезадачииявляютсяобщимидлявсехпримеровданнойзадачи.Такимобразом,кодпримеразадачидолженсодержатьлишьтуинформацию,которуюсодержитобщаяформулировказадачи,дополненнаяконкретнымизначениямипараметровзадачи.Условие(г)предотвращаетпоявлениеслишкомкороткихкодовдляотдельныхпримеровзадачи.Сдругойстороны,условие(а)недаетвозможностипоявлятьсяслишкомдлиннымкодам.

Вычислительная(временная)сложностьалгоритмов.Полиномиальныеипсев-дополиномиальныеалгоритмы.Подвременнойсложностьюалгоритмапонимаетсяколичествоэлементарныхопераций,необходимоедляегореализации.Дляалгоритмов,предназначенныхдляреализациинаЭВМ,подэлементарнымипонимаютсятакиемашин-ныеоперации,каксложение,умножение,сравнениедвухчисел,записьлибосчитываниечисла,расположенногопоизвестномуадресу,ит.п.

ДлялюбогопримераIнекоторойзадачивведемврассмотрениедвефункции:

–функцияLength[I],определяющаядлинукодапримераIприиспользованииразумнойсхемыкодированияи

–функцияMax[I],определяющаявеличинунаибольшегочисловогопараметравI.Еслизадачанесодержитчисел,тополагаемMax[I]=1длялюбогопримераI.

Какужеотмечалось,оценкавычислительнойсложностиалгоритмарешениязадачи–этофункцияотдлинызаписивходнойинформациизадачи.

Алгоритмрешениязадачиназываетсяполиномиальным,еслиеговременнаясложностьнепревосходитнекоторогополиномаотфункцииLength[I]длялюбогопримераIэтойзадачи.Соответствующаязадачаназываетсяполиномиальноразрешимой.

^{ПолиномиальноразрешимыезадачиобразуютклассP.}

Алгоритмрешениязадачиназываетсяпсевдополиномиальным,еслиеговременнаяслож-

ностьнепревосходитнекоторогополиномаотдвухфункций:Length[I]иMax[I],-длялюбогопримераIэтойзадачи.Соответствующаязадачаназываетсяпсевдополиномиальноразрешимой.

^{КлассNPзадач.NP-полныеиNP-трудныезадачи.Задачапринадлежитклассу}

^{NP,еслионаможетбытьрешеназаполиномиальноевремянатакназываемойнедетер-}

минированноймашинеТьюринга,котораяреальнонесуществует.Натакоймашинеза

полиномиальноевремяможнореализоватькакполиномиальныетакинекоторыенеполи-номиальныеалгоритмы.

^{ЗадачаΠназываетсяNP-трудной,еслилюбаязадачаизклассаNPполиномиальносво-}

дитсякней,т.е.имеяполиномиальныйалгоритмрешенияNP-труднойзадачи,можнополучитьполиномиальныйалгоритмрешениялюбойзадачиизклассаNP.Задачарас-познаванияΠназываетсяNP-полной,еслионаNP-труднаипринадлежитNP.

Понятиеполиномиальнойсводимоститранзитивно.ПоэтомудлядоказательстваNP-трудностинекоторойзадачидостаточнополиномиальносвестикнейнекоторуюNP-труднуюзадачу:

длялюбогопримераизвестнойNP-труднойзадачизаполиномиальноеотегоразмерно-стивремяпостроитьпримернашейзадачиипоказать,чторешениеNP-труднойзадачи

существуеттогдаитолькотогда,когдасуществуетрешениепостроенногопримеранашейзадачи.

ЭкстремальнаязадачаназываетсяNP-трудной,еслисоответствующаяейзадачараспо-знаванияявляетсяNP-трудной.

Изсуществованияполиномиальногоалгоритмарешениякакой-нибудьNP-труднойзадачиследуетсуществованиеполиномиальныхалгоритмоврешениядлявсехзадачизкласса

^{NP,включаявсеNP-полныезадачи.}

Какужеотмечалось,всеполиномиальноразрешимыезадачиполиномиальноразрешимы

нанедетерминированноймашинеТьюринга.Поэтому

ОднаконеясноP=NPилиP/=NP.

^P⊆NP.

ПосколькунидляоднойNP-труднойзадачинеразработанполиномиальныйалгоритм

решения,внастоящеевремяобщепринятойявляетсягипотезаотом,что

P/=NP.

Длятого,чтобыееопровергнуть,достаточнопостроитьполиномиальныйалгоритмре-шениялюбой(какой-нибудьодной)NP-труднойзадачи.Списоктакихзадачвключаетдесяткитысячзадачизразличныхобластейнауки.

ЗаразработкуполиномиальногоалгоритмарешениялюбойNP-труднойзадачиустановленпризв1.000.000долларов.

NP-трудныевсильномсмыслезадачи.НарядусразделениемзадачнаNP-трудныеиполиномиальноразрешимые,NP-трудныезадачи,всвоюочередь,подразделяютсянаNP-трудныевсильномсмыслезадачиизадачи,имеющиепсевдополиномиальныеалго-ритмырешения.NP-трудныевсильномсмыслезадачинеимеютпсевдополиномиальногоалгоритмарешения.

ПримерыNP-трудныхзадач.

NP-труднаязадача,имеюшаяпсевдополиномиальныйалгоритмрешения:РАЗБИЕНИЕ:

j=1

Заданыцелыеположительныечислаa₁,a₂,...,a_rиAтакие,что ^r

a_j=2A.Требуется

^{определить,существуетлимножествоX⊂N={1,2,...,r}такое,что} j∈X^aj=A.

NP-труднаявсильномсмыслезадача:

3-РАЗБИЕНИЕ:

Заданыцелыеположительныечислаa₁,a₂,...,a_3rиAтакие,чтоA/4<a_j<A/2,

j=1

_{j=1,...,3r,и} ^3r

a_j=rA.Требуетсяопределить,существуетлиразбиениемножества

^{{1,2,...,3r}наrнепересекающихсяподмножествX1,X2,...,Xrтакое,что} j∈X_l^aj=A,

l=1,...,r.

Нетруднозаметить,еслирешениезадачи3-РАЗБИЕНИЕсуществует,токаждоеизмно-жествX₁,...,X_rсодержитвточноститриэлемента.