7Имитационноемоделированиенапримереметода

Монте-Карло

Рассмотримситуацию,когдаоперацияпредставляетсобойслучайныйпроцессипока-зателемэффективностиявляетсявероятностькакого-либособытияилиматематическоеожиданиекакой-либослучайнойвеличины.Болеетого,предположим,чтопроцессневоз-можноописатьаналитически.Вэтомслучаедлямоделированияпроцессаприменяетсяимитационноемоделирование,наиболеераннимпредставителемкоторогоявляетсяме-тодМонте-Карло.

Имитационноемоделированиепредставляетсобойвычислительныйэксперимент,резуль-

татыкоторогоинтерпретируютсяспозицийматематическойстатистики.Рассмотримими-тационноемоделированиенапримереметодаМонте-Карло(М-К).

ИдеяметодаМ-Ксостоитвследующем.Вместотого,чтобыописыватьслучайноеяв-лениеспомощьюаналитическихзависимостей,производитсяэксперимент,называемыйрозыгрышем,дающийслучайныйрезультат.Врезультатерозыгрышаполучаемоднуреа-лизациюслучайногоявления.Проведяэкспериментдостаточнобольшоеколичествораз,получимстатистическийматериал,которыйможнообрабатыватьметодамиматематиче-скойстатистики.

Длясложныхопераций,вкоторыхучаствуетмногоэлементов(машин,систем,людей,коллективов)ивкоторыхслучайныефакторысложнымобразомвзаимодействуютдругсдругом,методМ-Ккакправилооказываетсяпрощеиадекватнееаналитического.Рассмотримпример,типичныйдляпримененияметодаМ-К.Наплоскостинарисовананекотораяфигура.Командаизnчеловек(участниковоперации)должнавыполнитьсле-дующее.Каждыйчеловек,невидяфигурыинезнаядействийдругихучастников,долженнарисоватьнаплоскостикругзаданногорадиусаr.Операциясчитаетсяуспешной,есликругипокрылинеменее50%площадифигуры.Требуетсяопределитьвероятностьтого,чтооперациябудетуспешной.

Решениеэтойзадачианалитическиспомощьюметодовтеориивероятностейчрезвычайносложно.ЗначительнопрощерешитьэтузадачуметодомМ-К.

Дляэтогопроведемследующийэксперимент.Разыграемкоординатыnточекнаплоскостиспомощьюкакого-либомеханизмаслучайноговыбора.Например,пустьm–количествоточекнаплоскости.Разобьеминтервал[0,1]наmпоследовательныхнепересекающихсячастейодинаковойдлины(событиявыборацентракруганезависимыиравновероятны).СпомощьюЭВМилипотаблицевыберемn(псевдо)случайныхчиселиз[0,1].Интервалы,вкоторыепопалиэтичисла,указываюткоординатыnточекнаплоскости.Нарисуемсоответствующиекругииопределимплощадьпокрытияфигуры.Еслиэтаплощатьнеменее50%,тобудемсчитатьэкспериментуспешным.

ПрибольшомколичествеэкспериментовNвероятностьWуспехаоперацииможетбытьприближеннооцененакакчастотауспешныхэкспериментов:

_M

^≈

_{W ,гдеM–числоуспешныхэкспериментов.}

^N

СпомощьюметодаМ-Кможнополучатьнетольковероятностисобытий,ноиматемати-ческиеожиданияслучайныхвеличин.Например,есливрассматриваемомпримеретребу-етсянайтиневероятностьуспехаоперации,аматематическоеожиданиеM[S]площадиSпокрытияфигурыкругами,томожновоспользоватьсяследующим.

Всоответствиисзакономбольшихчисел(теоремаЧебышева)прибольшомколичественезависимыхопытовсреднееарифметическоеполученныхзначенийслучайнойвеличиныпочтинавернякамалоотличаетсяотеематематическогоожидания.ПустьS_i–площатьпокрытияфигурывэкспериментеi.Тогда

^{≈ S}

_N

_M[S] ⁱ⁼¹ⁱ_.

^N

Аналогичноможетбытьнайденадисперсияслучайнойвеличины,т.е.мат.ожиданиеквад-ратаотклоненияслучайнойвеличиныотеемат.ожидания.ВнашемпримередисперсияD[S]площадипокрытияфигурыможетбытьприближенновычисленапоформуле

_{N 2}

N

^{D[S]=M[(S−M[S])2]≈i=1(Si−M[S]).}

Такимобразом,методМ-Кимитируетвлияниеслучайнойвеличинынапроцесспрове-денияоперацииспомощьюспециальноорганизованногорозыгрышаилижребия.Далеепроводитсядостаточнобольшоечислотакихрозыгрышейиинтересующиенасхаракте-ристикислучайногоявлениянаходятсяопытнымпутем:

вероятности–какчастотысобытий,

математическиеожидания–каксредниеарифметическиезначениясоответствующихслу-чайныхвеличин,

дисперсии–каксреднеквадратичныеотклоненияслучайныхвеличинотихсреднеариф-метическогозначения.

Недостаткомметодаявляетсянеобходимостьпроведениябольшогочисларозыгрышей.