6Задачакоммивояжераиметодветвейиграниц

Предположим,чтофирмадолжнапровестирекламнуюкампаниювовсехобластныхго-родахБеларуси,вкаждомгородеровнопоодномуразу.Известно,сколькостоитпереездмеждудвумялюбымигородами.Фирмажелаетснизитьсвоидорожныерасходы.Математическаямодельтакойситуацииназываетсязадачейкоммивояжера,котораясо-стоитвследующем.Заданполныйорграф.Орграфназываетсяполным,есликаждаяпаравершинiиjсоединенадугами(i,j)и(j,i).Известнастоимостьc_ijкаждойдуги(i,j).Тре-буетсяпостроитьгамильтоновцикл(т.е.цикл,проходящийчерезкаждуювершинуровнопоодномуразу)такой,чтосуммарнаястоимостьвсехегодугбыламинимальной.Отметим,чтоестьвзаимнооднозначноесоответствиемеждугамильтоновымициклами(т.е.маршрутамикоммивояжера)вполномграфесnвершинамииперестановкамиnэлементов.Перестановкаσ=(i₁,...,i_n)соответствуетмаршрутукоммивояжера,прохо-дящемучерезвершиныi₁,...,i_nивключающемудуги(i₁,i₂),(i₂,i₃),...,(i_n−1,i_n),(i_n,i₁).Основнымметодомрешениязадачикоммивояжераявляетсяметодветвейиграниц(МВиГ).Этотметодявляетсяуниверсальнымиможетприменятьсядлярешенияпракти-ческивсехзадачоптимизации.

ОсновныепринципыМВиГдлярешениязадачиминимизациисостоятвследующем.

1)Ветвление.Исходнаязадачаразбивается(ветвится)надвеилиболееподзадачита-кимобразом,чторешениеисходнойзадачиявляетсярешениемхотябыоднойизподзадач.Каждаяизподзадач,всвоюочередь,ветвитсянаболеемелкиеподзадачи.Процессмо-жетповторятьсядотехпор,покаполучаемаяподзадачанестановитсятривиальнойиеерешениелегкоотыскивается.

Этотпроцессможнопредставитьввидетакназываемогодереваветвлений.Вершиныдереваветвленийсоответствуютподзадачамиразбитынауровни.Исходнаязадачаяв-ляетсявершинойнулевогоуровня.Подзадачи,полученныеизисходнойзадачи,являютсявершинамипервогоуровня.Подзадачи,полученныеизвершинпервогоуровня,являютсявершинамивторогоуровня,ит.д.Дугинаправленыизвершинуровняiввершиныуровняi+1.Вкаждуювершинувходитровнооднадуга.

2)Построениенижнихиверхнихоценокминимальногозначенияцелевойфункции.Дляисходнойзадачи,атакжедлялюбойееподзадачимогутбытьнайдены

числаLBиUBтакие,что

^{LB≤F∗≤UB,}

гдеF^∗–минимальноезначениецелевойфункциивзадачеилиподзадаче,LBиUB–егонижняяиверхняяоценкисоответственно.

Нижняяоценкаможетбытьполученаврезультатерешениярелаксированнойилиослаб-леннойзадачи,например,задачикоммивояжера,вкоторойстоимостивсехдуг,входящихвданнуювершину,уменьшенынавеличинуминимальнойизних,ианалогичноизменены(уменьшены)стоимостивсехдуг,выходящихизданнойвершины.

Верхняяоценкаможетбытьполученаврезультатеотысканиялюбогодопустимогореше-ниярассматриваемойзадачиивычислениясоответствующегозначенияцелевойфункции.Длязадачикоммивояжерадостаточнонайтисуммарнуюстоимостьдугкакого-нибудьдо-

пустимогомаршрута.Наилучшая,т.е.наименьшаяизвсехимеющихсявналичииверхнихоценок,называется(текущим)рекордом.

3)Отсеиваниевариантов.Еслидлянекоторойподзадачиеенижняяоценкапревосхо-дитлиборавнарекорду,такуюподзадачуможнодалееневетвить,таккакеерешениебудетзаведомохужелибонелучшерешения,соответствующегорекорду.

4)Оптимальноерешение.Процессвычисленийпрекращается,когданетниоднойпод-задачи,котораяможетпродолжатьветвиться.Вэтомслучаеоптимальноерешениесоот-ветствуеттекущемурекорду.

Вприведенномметодеостаетсянеопределеннымспособвыбораподзадачидляветвления.Наиболееупотребимымявляетсяспособ,прикоторомветвяттуподзадачу,которойсо-ответствуетнаименьшеезначениенижнейоценкилиботу,котораябыстрееприведетктривиальнойподзадаче.

Различаютметодыветвлениявглубинуивширину.

Приветвлениивглубинувсегдаветвятоднуизподзадачнаибольшегоуровня.Этобыстрееприводиткпостроениюполногодопустимогорешения.

Приветвлениивширинуветвятподзадачиодногоуровнядотехпор,покавсеонинебудутрассмотрены.Такоеветвлениепозволяетполучатьбольшенижнихиверхнихоценокиможетпривестикбольшемуколичествуотсеянныхвариантов.Однакотребуетсябольшепамятидляхраненияпромежуточныхрезультатов.

Пример.Пустьматрица(таблица)стоимостейпереездамеждугородамивыглядитсле-

дующимобразом:

город(i,j)	Минск(1)	Брест(2)	Витебск(3)	Гомель(4)	Гродно(5)	Могилев(6)
1	∞	350	250	350	320	200
2	400	∞	650	500	100	700
3	300	600	∞	320	400	150
4	370	580	280	∞	710	180
5	400	100	550	800	∞	670
6	220	650	170	210	590	∞

Будемрешатьзадачуметодомветвлениявглубь.Вначалепостроим”приведеннуюзадачу”,эквивалентнуюисходной.Используемпроцедуру”приведениетаблицы”,состоящуюввы-читаниинаименьшегочиславкаждомстолбце(строке),затемнаименьшегочиславкаж-дойстроке(столбце).Суммируяэтичисла(изкаждогогороданужновыехатьивкаждыйгороднужновъехать),получаем∆₀₌(220+100+170+210+100+150)+(30+50)=1030.Далееможноработатьсприведеннойматрицей.Дляполученияреальнойстоимостилю-богомаршрутанеобходимодобавитькполучаемойизприведеннойтаблицыстоимостивеличину∆₀.

Приведеннаятаблица:

(i,j)	1	2	3	4	5	6
1	∞	200(250)	30(80)	90(140)	170(220)	0(50)
2	180	∞	480	290	0	550
3	80	500	∞	110	300	0
4	120(150)	450(480)	80(110)	∞	580(610)	0(30)
5	180	0	380	590	∞	520
6	0	550	0	0	490	∞

Дляэлементовприведеннойтаблицыоставимобозначенияc_ij.

Очевидно,чтонижняяоценкадляприведеннойзадачиравнаLB(0)=0.Дляотысканияверхнейоценкипостроимкакой-нибудьмаршруткоммивояжера.Например,разумнымбу-детвключитьвэтотмаршрутдугуминимальнойстоимости,скажем,(2,5).Далеевыбрать

^{дугуминимальнойстоимостивида(5,j),j/=2.Это(5,1).Далее,выбратьдугуминималь-}

^{нойстоимостивида(1,j),j/=2,5.Поступаяаналогично,(1,6),(6,3),(3,4),и,безвариантов,}

(4,2).ПолучаемверхнююоценкуUB(0)=740.ОнаявляетсярекордомR.

Далееразветвимисходнуюзадачу.Ветвлениебудемосуществлятьповхождениюилиневхождениюнекоторойдугивмаршрут.Будемвыбиратьдугунулевойстоимости,ко-тораядаетнаибольшеезначениенижнейоценкидляподзадачиприееневхождениивмаршрут.Дугинулевойстоимости:(1,6),(2,5),(3,6),(4,6),(5,2),(6,1),(6,3),(6,4).

ВподзадачеP(1,6)(P(1,6))дуга(1,6)невходит(входит)вмаршрут.

^{РассмотримподзадачуP(1,6).Полагаемстоимостьдуги(1,6)равной∞.Какая-тодугаиз}

1должнавыйтиикакая-тодугадолжнавойтив6.Можнодобавитькнижнейоценкесум-

мунаименьшихчиселвуказанныхстрокеистолбце,обозначаемую∆₁₆₌30.Аналогичновычисляем∆_2,5,∆_3,6,∆_4,6,∆_5,2,∆_6,1,∆_6,3,∆_6,4.Наибольшеезначениеравно∆_5,2=380.Выбираемдугу(5,2)длядальнейшихветвлений.ВычисляемLB(5,2)=LB(0)+∆_5,2=380.Нарисуемначальноедеревоветвлений,состоящееиз3вершин-начальной0ивершин,обозначенных(5,2)(соответствующаядуганевходитвмаршруткоммивояжера)и(5,2)(входит),см.рис.

ПрипишемвершинамсоответствующиезначенияLB.

РассмотримподзадачуP(5,2).Посколькудуга(5,2)входитвмаршрут,другиедугинемогутвыйтииз5ивойтив2.Вычеркиваемстроку5истолбец2.Крометого,дуга

^{(2,5)войтивмаршрутнеможет.Полагаемстоимостьэтойдугиравной∞.Вычисляем}

^∆_5,2^{=350.Послеприведениятаблицаимеетвид:}

(i,j)	1	3	4	5	6
1	∞	30	90	0	0
2	0	300	110	∞	370
3	80	∞	110	130	0
4	120	80	∞	410	0
6	0	0	0	320	∞

ВычисляемLB(5,2)=LB(0)+c_5,2+∆_5,2=350.

БудемветвитьподзадачуP(5,2),таккакразмерностьсоответствующейматрицымень-шеибыстрееможнополучитьтривиальнуюподзадачу.Вприведеннойтаблицедляэтойподзадачинаходимдугинулевойстоимости:(1,5),(1,6),(2,1),(3,6),(4,6),(6,1),(6,3),(6,4).

R₀₌UB=c(2,5,1,6,3,4)=740

R₁₌c(1,5,2,4,3,6)=540

✤^LB=✜460

₂₄

^{✤LB=✜540=R}₁

₃₆

_✒

^✣✢

_{✒ ❅}

^✤LB=✜460

^✣✢_❅

^✤LB=✜540

₁₅

_{✒ ❅}

^❅❘ 36

^✤LB=✜350

^✣✢_❅

^{✤LB=✜650 ✣✢}

₅₂

_{✒ ❅}

^❅❅❘ 24

^✤LB=✜0

^✣✢_❅

^{✤LB=✜480 ✣✢}

₀ ❅_❘

_15❳❳

_✤LB=?✜?

_❅

^✣✢_❅

✤^LB=✜380

_❆

^✣✢_❆

^❳❳③ _??

❅_{❘ 52❳❳LB✤=58✜0❆ ✣✢}

_❆

^✣✢_❆

^❳❳③ ₁₂

❆

_❆

_{❆✤LB=?✜?}

_❆

^{❆ ✣✢❆❯} _??

_❆

_❯

_❆❆^{✤LB=✜630 ✣✢}

12

^✣✢

^{Ответ:c∗=c(1,5,2,4,3,6)=540+∆}₀^{=540+1030=1570}

Наибольшеезначение∆_i,jпризаписивуказанныеклетки∞равно∆_1,5=130.Выбира-емдугу(1,5)длядальнейшихветвлений.Вдеревоветвленийдобавляемвершины(1,5)и(1,5),следующиезавершиной(5,2).

ВподзадачеP(1,5)дуга(1,5)невходитвмаршрут.Полагаемстоимостьэтойдугиравной

^{∞.Вычисляем∆}_1,5^{=130иLB(1,5)=LB(5,2)+∆}_1,5^=480.

РассмотримподзадачуP(1,5).Вычеркиваемстроку1истолбец5изматрицыдляпод-

задачиP(5,2).Дуга(1,5)образуетпутьсужевведеннойвмаршрутдугой:(1,5),(5,2).Поэтомуможноположитьc_2,1=∞.Вычисляем∆_2,1.

^{Процессостанавливаетсядляматриц2×2.Вэтомслучаеможнонайтирешениелибо}

определить,чтоононесуществует.Получивновыйрекорд,можноотсечьнекоторыевет-

ви.