1.Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Задача о площади криволинейной трапеции.

Задача о площади криволинейной трапеции:

y

В

А

Фигура аА Bb называется криволинейной трапецией, если она ограничена сверху графиком функции y=f(x), слева и справа прямыми соответствующими x=a, x=b, снизу осью Ox.

y=f(x)

x

в

а

Для вычисления площади криволинейной трапеции разобьем отрезок АВ произвольным образом на n-частей.

a=x₀, x_n=b, ∆x_i+1-x_i.

В точках деления проведем прямые параллельные оси Oy до пересечения со строкой ab. Трапеция разбивается на n-маленьких трапеций.

На каждый из отрезков x_i+1-x_i возьмем произвольную точку g_i и найдем значение функции в каждой из выбранных точек. Заменим соответствующие части криволинейной трапеции прямоугольниками с основанием ∆x_i, а высотой f(g_i). В результате получим n-ступенчатую трапецию, площадь которой равна: . По определению площадь криволинейной трапеции равна: .

2.Опрделение определённого интеграла. Теорема существования определённого интеграла. Механический смысл определённого интеграла. Геометрический смысл определённого интеграла.

Пусть функция f(x) определенна на отрезке аb.

F(x) [а;b], разобьем отрезок аb произвольным образом на n-частей.

a<x₀<x₁<x₂<…<x_n=b

На каждом из отрезков выберем точку g_i. И составим уравнение вида ①

①.

Сумма ① называется n-ой интегральной суммой для функции f(x) на отрезке ab. Определение: определенный интеграл от функции f(x) на отрезке ab называется предел n-ой интегральной суммы ① при стремлении к нулю длины наибольшей части отрезка и обозначается . Таким образом интеграл от a до b равный пределу: ②.

Числа a и b называются нижним и верхним пределом интегрирования. Отрезок ab называется отрезком интеграла.

Теорема существования определённого интеграла: Если функция f(x) непрерывна на отрезке ab, то предел ② существует и не зависит от способа разбиения отрезка ab на частичные отрезки и от выбора на них точек.

Геометрический смысл состоит в том, что площадь криволинейной трапеции равна интегралу, от ординаты линии ограниченной трапеции, взятому по основанию.

, f(x)>0.

Механический смысл определённого интеграла состоит в том, что работа произведенная силой равна интегралу от силы, взятому по пути.

Масса распределения на линии равна интегралу от плотности, взятому по длине.

③.

Путь, пройденный телом равен интегралу, взятому по t от U.

④.

3.Основные свойства определённого интеграла.

1)

2)

3) Если в определенном интеграле поменять пределы интегрирования, то изменится знак интеграла:

. Будем считать, что a>b.

4)

5) , где c ϵ[a,b].

6) , где c=const.

7)

8) Если f(x)≥0, xϵ[a,b] , то

Если f(x)≤0, xϵ[a,b] , то

9) Если f(x)≤ , xϵ[a,b] , то

10) Теорема 1 (об оценке определенного интеграла): Если m и M соотношения наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке ab и a≤b, то:

①

m≤ f(x) ≤M ②

11) Теорема 2 (о среднем значении определенного интеграла): Если функция f(x) непрерывна на отрезке ab, то существует такая точка C, принадлежащая отрезку ab, то существует такая точка внутри этого отрезка.

.