Размерность Минковского

Размерность Минковского — это один из способов задания фрактальной размерности ограниченного множества в метрическом пространстве, определяется следующим образом:

• где N(ε) минимальное число множеств диаметра ε, которыми можно покрыть исходное множество.

Если предел не существует, то рассматривают верхний и нижний пределы и говорят соответственно о верхней и нижней размерности Минковского. Верхняя и нижняя размерности Минковского тесно связанны с размерностью Хаусдорфа, интуитивно это легко уловить по способу задания размерности. Обычно упомянутые три размерности совпадают, и только в очень специфичных случаях имеет смысл их различать, но это не наши случаи. Размерность Минковского имеет так же другое название — box-counting dimension, из-за альтернативного способа ее определения, который кстати дает подсказку к способу вычисления этой самой размерности. Рассмотрим двумерный случай, хотя аналогичное определение распространяется и на n-мерный случай. Возьмем некоторое ограниченное множество в метрическом пространстве, например черно-белую картинку, нарисуем на ней равномерную сетку с шагом ε, и закрасим те ячейки сетки, которые содержат хотя бы один элемент искомого множества. Далее начнем уменьшать размер ячеек, т.е. ε, тогда размерность Минковского будет вычисляться по вышеприведенной формуле, исследуя скорость изменения отношения логарифмов. Эта фраза может быть не сразу понятна, но думаю все прояснит алгоритм, используемый для вычисления приближенного значения размерности Минковского.

Случайное блуждание — математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени.

Пусть   последовательность независимых случайных величин со значениями в   и одинаковыми распределениями. Тогда случайный процесс заданный последовательностью

называется случайным блужданием в   или d-мерным случайным блужданием. Случайное блуждание это дискретный случайный процесс с независимыми стационарными приращениями.

Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение   броуновской частицы массы   выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы   (Закон Стокса), шумового члена   (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и   — систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

Самодиффузия в отличие от диффузии осуществляется в отсутствии градиентов химического потенциала, концентрации, температуры, плотности и представляет результат случайных блужданий частиц в равновесных условиях. 

Кроме того, при решении задачи полезно учитывать также, что блуждание частицы М, начинающееся в точке M j, автоматически является случайным блужданием частицы, начинающимся в любой промежуточной точке траектории этой частицы. 

Распределение (2.13), а следовательно, и уравнение (2.14) характеризуют попадание частицы в макроточку с координатами Xlt X2, Ха - нормальный закон распределения справедлив при случайных блужданиях частицпосле бесконечно большого числа шагов. 

Известные теории турбулентной диффузии основаны отчасти на идее, что преобладает влияние объемного рассеяния, при котором молекулярной диффузией можно пренебречь, и что могут быть использованы ранние теории случайного блуждания частиц при броуновском движении. 

Это соотношение, которое носит имя Эйнштейна, замечательно тем, что устанавливает связь между двумя совершенно различными по виду явлениями. Коэффициент диффузии характеризует случайное блуждание частиц, которое приводит, в частности, к флуктуациям плотности. Подвижность же характеризует их регулярное движение под действием внешней силы. 

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

где b — некоторая константа, которую мы определим позже,   — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функцияравна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Перепишем уравнение в терминах скорости:

где 

Пусть в начальный момент времени   частица имела скорость  . Будем искать решение в виде:  , тогда для   получим следующее дифференциальное уравение:

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

Из него следуют два важных соотношения:

1. . То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.

2. . Средний квадрат скорости со временем стремится к значению  . Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента  :

Преобразованием исходного выражения можно получить, что:

Откуда следует соотношение Эйнштейна:

где B — подвижность броуновской частицы.

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности  , описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале  , если в момент времени 0 она имела начальную скорость  , и записать для   уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для   переменных:

где   — вектор сноса и   — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

где   — функция состояния системы, а   — стандартное  -мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как  , то плотность вероятности   состояния системы   является решением уравнения Фоккера — Планка со следующими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) — дифференциальное уравнение, в котором один член или более имеют стохастическую природу, то есть представляют собой стохастический процесс (другое название — случайный процесс). Таким образом, решения уравнения также оказываются стохастическими процессами. Наиболее известный и часто используемый пример СДУ — уравнение с членом, описывающим белый шум.

В одномерном случае УФП приобретает вид:

УФП справедливо для условной плотности вероятности:

 (то есть значение функции   вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью   и временно́й осью  , в интервалы   и   соответственно) при любом начальном значении   и   и начальном условии  , где   — функция Дирака.

Это условие гласит, что в один и тот же момент времени   функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности   Тогда, УФП справедливо для вероятности   с начальным условием  , которое менее сингулярно, чем  . Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен СДУ Ито

и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.

Исчисление Ито — математическая теория, описывающая методы манипулирования со случайными процессами, такими как броуновское движение (или винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито

записывающийся также в виде  , где   — броуновское движение или, в более общей формулировке, полумартингал. Можно показать, что путь интегрирования для броуновского движения нельзя описать стандартными техниками интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является интегрируемой функцией в каждой точке пути и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить строго, если заметить, что подынтегральная функция   есть адаптивный процесс; это означает, что зависимость от времени   его среднего значения определяется поведением только до момента  .

Интеграл Стратоновича имеет вид:  .

Интеграл Ито имеет вид:  . Его основные свойства:  ,  .