Фрактальная размерность

Опишем один простой способ задания фрактальной размерности, хотя например размерность Минковского так же является одой из фрактальных размерностей, и она как раз тесно связана с размерностью Хаусдорфа, но об этом позже. Вот он простой способ задания фрактальной размерности:

• Возьмем некоторую D-мерную геометрическую структуру и будем делить итеративно ее стороны на M равных частей (на следующей итерации, будем делить каждую полученную на предыдущей итерации часть так же на M частей)

• Каждый уровень будет состоять из M^D частей предыдущего уровня

• Обозначим следующим образом количество полученных частей N = M^D

Выполним следующее преобразование для вычисления формулы для значения фрактальной размерности D: Рассмотрим простые примеры, которые я почерпнул из очень крутого курса по комплексным системам. Возьмем отрезок (одномерное ограниченное множество), разделим его на две равные части, таким же образом будем поступать с каждой полученной частью. Таким образом мы будем создавать полное покрытие множества. Т.е. M = 2 и N = 2, т.к. из каждой части производится два новых куска отрезка, вычислим D: Если разделять отрезок не на 2 части, а на 3, то D все равно будет равна 1, т.к. M = 3 и N = 3. Эта размерность совпадает с размерностью Хаусдорфа для хорошего множества. Давайте рассмотрим аналогичную процедуру для квадрата. Получаем M = 2 и N = 4, т.к. разделяя стороны на 2 равные части, мы получаем 4 новых, вычислим фрактальную размерность И опять полученная размерность совпала с размерностью Хаусдорфа. Такой же результат можно получить если делить стороны на 3 равные части и т.д. 

В реальном мире мы редко имеем дело с идеализированными объектами, что же будет если мы рассмотрим не совсем хорошийгеометрический объект, например кривую Коха (не путать с палочкой), вспомним алгоритм генерации такого множества. На каждой новой итерации, каждый кусок кривой, который является прямым отрезком, делится на три равные части, затем средний кусок убирается, а на его место становится конструкция напоминающая перевернутую букву V, каждое ребро которой равно убранной части отрезка (а так же равно и оставшимся). Другими словами M = 3, т.к. отрезок делится на три равные части, а N = 4, т.к. каждая часть превращается в 4 части равных 1/4 от оригинала. Тогда фрактальная размерность такого множества при бесконечном итерировании будет равна следующему значению: На каждой итерации одна сторона делится на 2 части, т.е. M = 2, а в результате получается 3 части, т.е. N = 3, тогда Возникает конечно вопрос, вот мы получили цифры некоторые, ну размерность стала дробной, и что? Есть ли в этом какой-то смысл, или это просто математические штучки. Строгой формулировки с описанием смысла дробности размерности нет, но можно ее интерпретировать следующим образом, на некотором интуитивном уровне. Фрактальная размерность чувствительна 

ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо (источник)

В курсе по анализу комплексных систем упоминается следующая трактовка: дробная размерность — это своего рода плотность самоподобия. Но говоря о реальных объектах читатель сразу же скажет, но ведь и кривая Коха и треугольник Серпинского далеки от реальности, что же делать тогда? Как я упомянул выше, приведенное определение фрактальной размерности является простым, и одним из нескольких. Давайте перейдем к более сложному определению фрактальной размерности. А пока взгляните, например, на капусту брокколи Романеско, вот такая вот реальность.