Связность и диаметр

Диаметр графа — наибольшее расстояние между двумя любыми его вершинами. Точно выражаясь, диаметр несвязного графа (например, образованного несколькими изолированными кластерами) бесконечен, но может быть определен, как максимальный из диаметров его кластеров. Случайные графы имеют малый диаметр, при условии, что p мало. Причина этого в том, что случайный граф кажется расширяющимся: с большой вероятностью количество вершин с расстоянием l от выбранной вершины пропорционально ln(N) ⁄ ln(<k>), то есть, оно логарифмически зависит только от количества вершин. Диаметр случайных графов изучался многими людьми (Chang, Lu 2001). Общий вывод состоит в том, что для большинства значений p, практически все графы имеют один и тот же диаметр. Это значит, что, когда мы рассматриваем все графы с N вершинами и вероятностью связности p, диаметры могут лишь незначительно отличаться, обычно находясь около значения

Кластерный коэффициент

Если мы рассмотрим вершину случайного графа и ее ближние соседние вершины, вероятность того, что две соседние вершины соединены, равна вероятности того, что две случайно выбранных вершины соединены. В итоге, кластерный коэффициент случайного графа составляет:

Модель Барабаши-Альберт (БА) — алгоритм генерации случайных безмасштабных сетей с использованием принципа предпочтительного присоединения.

Концепции

Многие исследуемые сети попадают под класс безмасштабных сетей. Это значит, что они имеют степенное распределение по степени узла, тогда как модели случайных графов (Уоттса — Строгатца и Эрдёша — Реньи) не имеют такого распределения. Модель Барабаши — Альберт — одна из нескольких предложенных моделей со степенным распределением, которые генерируют безмасштабные сети. Она включает в себя две важные общие концепции:

• рост сети

• принцип предпочтительного присоединения (ПП)

Обе концепции широко представлены в сетях реального мира. Рост значит, что число узлов сети увеличивается со временем.

Принцип предпочтительного присоединения заключается в том, что чем больше связей имеет узел, тем более предпочтительно для него создание новых связей. Узлы с наибольшей степенью имеют больше возможностей забирать себе связи, добавляемые в сеть. Интуитивно, принцип предпочтительно присоединения может быть понят, если мы думаем в терминах социальных сетей, которые объединяют людей. Здесь связь от А к B значит, что человек A «знает» или «знаком» с человеком B. Сильно связанные узлы представлены известными людьми с большим числом связей. Когда новичок попадает в сообщество, для него/неё более предпочтительно связаться с одним из известных людей, чем с относительно неизвестным. Подобным образом во всемирной сети страницы связываются с хабами, к примеру, с хорошо известными сайтами, как Гугл или Википедия, чем со страницами, которые мало кому известны. Если выбирать для связи новую страницу случайным образом, то вероятность выбора определённой страницы будет пропорциональна её степени. Это объясняет принцип предпочтительного присоединения.

Принцип предпочтительно присоединения — пример положительной обратной связи, где изначально случайные вариации (один узел изначально имеет больше ссылок или начинает собирать ссылки раньше других) автоматически усиливаются, тем самым значительно увеличивая разрыв. Это также иногда называют эффектом Матфея, «богатые становятся богаче», или автокатализом в химии.