Подграфы

Первым свойством случайных графов, изученным Эрдёшем и Реньи (1959), было появление подграфов. Граф G₁, состоящий из множества P₁ вершин и множества E₁ ребер, является подграфом графа G = {P, E}, если все вершины E₁ также являются вершинами E. Простейшими примерами подграфов являются циклы, деревья и полные подграфы. Цикл порядка k — это замкнутый путь из k ребер, в котором только два последовательных ребра имеют общую вершину. Таким образом, треугольник — это цикл 3-го порядка, а четырехугольник — 4-го. Средняя степень цикла равна 2, поскольку каждая вершина имеет 2 ребра. Противоположность циклам составляют деревья, которые не могут образовывать замкнутый контур. Точнее, деревом порядка k является граф, не имеющий циклов, у которого k вершин и k−1 ребер. Средняя степень дерева порядка k составляет <k> = 2 − k ⁄ 2 и стремится к 2 для больших деревьев. Полные подграфы порядка k содержат k вершин и все из возможных   ребер, другими словами, все их вершины соединены.

В теории случайных графов имеется точный ответ на этот вопрос (Bollobas 1985). Рассмотрим случайный граф G = G(N, p). Дополнительно рассмотрим небольшой граф F, состоящий из k вершин и l ребер. В принципе, случайный граф G может содержать несколько таких подграфов. Во-первых, определим, сколько таких подграфов существует. k вершин могут быть выбраны из общего числа N вершин   способами, а l ребер могут быть образованы с вероятностью p^l. К тому же, мы можем переставлять k вершин и в итоге получить k! новых графов (точное значение равно  , где a — количество взаимно изоморфных графов). Таким образом, ожидаемое количество подграфов F графа G составит   Подразумеваем, что реальное число таких подграфов может отличаться от E(X), но в большинстве случаев оно будет соответствовать данному выражению. Заметим, что подграфы не должны быть изолированными, то есть могут существовать вершины, имеющие свое начало в подграфе, а конец — вне его. Уравнение показывает, что если p(N) таково, что   при N → ∞, ожидаемое количество подграфов E(X) → 0, то есть, практически ни один из случайных графов не содержит подграфа F. С другой стороны, если  , количество подграфов будет конечным числом, определяемым  , что говорит о том, что эта функция может быть критической вероятностью. Правильность этого утверждения может быть проверена расчетами распределения количества подграфов P_p(X = r), что дает (согласно Боллобасу 1995):

Вероятность того, что граф G содержит, по крайней мере, один подграф F, составляет в таком случае

что стремится к 1 при увеличении c. Для значений p, удовлетворяющих   вероятность   стремится к 1, тем не менее, критическая вероятность того, что практически каждый граф содержит подграф с k вершинами и l ребрами, составляет P_p(X = r)

Некоторые важные свойства:

1. Критическая вероятность наличия дерева порядка k составляет 

2. Критическая вероятность наличия цикла порядка k составляет 

3. Критическая вероятность наличия полного подграфа порядка k составляет 

Распределение степеней

Эрдёш и Реньи (1959) были первыми, кто изучил распределение максимальных и минимальных степеней в случайном графе, полное распределение степеней было получено позднее Боллобасом (1981). В случайном графе с вероятностью связности p степень k_i вершины iследует биномиальному распределению с параметрами N−1 и p:

   (*)

Эта вероятность представляет количество способов, которыми k ребер могут быть проведены из определенной вершины: вероятность для k ребер составляет p^k, вероятность отсутствия дополнительных ребер составляет (1−p)^N−1−k и существует   эквивалентных способов выбора k конечных точек для этих ребер. Тем более, если вершины i и j являются различными, P(k_i = k) и P(k_j = k) близки к тому, чтобы быть независимыми случайными переменными. Для нахождения распределения степеней графа, необходимо изучить количество вершин со степенью k (обозначим X_k). Нашей основной целью будет определить вероятность того, что X_k принимает заданное значение P(X_k = r)

Согласно (*), ожидаемое количество вершин со cтепенью k составит  , где  . C хорошим приближением для распределения степеней в случайном графе подходит биномиальное распределение  , которое для больших N может быть заменено распределением Пуассона: