Теория случайных графов

Теория случайных графов была основана Полом Эрдёшем и Альфредом Реньи (1959, 1960, 1961), после открытия Эрдёшем того, что случайный анализ зачастую удобен для решения проблем теории графов. Далее, мы, приводим основные факты теории случайных графов, концентрируя внимание, в основном на материале, напрямую связанном со сложными сетями.

Модель Эрдёша-Реньи

В своей первой статье по случайным графам, Эрдёш и Реньи определяют случайный граф как N помеченных вершин, соединенных n ребрами, которые выбираются случайным образом из   возможных (Эрдёш и Реньи 1959). Всего существует   графов с N вершинами и n ребрами, которые образуют вероятностное пространство с равной вероятностью для каждой реализации.

Другое определение случайного графа называют также биноминальной моделью. В этом случае, имея N вершин, соединяем каждые 2 из них с вероятностью p. В конечном итоге, полученное количество ребер будет случайной величиной с ожидаемым значением N → ∞. Если G₀— граф с вершинами P₁, P₂, …, P_N и n ребрами, вероятность получить его с помощью этого процесса составит  .

Теория случайных графов изучает вероятностное пространство графов с N вершинами при N → ∞. Многие свойства таких случайных графов могут быть получены с помощью случайного анализа. С этой точки зрения Эрдёш и Реньи определили, что каждый граф обладает свойством Q, если при N → ∞, вероятность выполнения Q равна 1. Среди вопросов, рассмотренных Эрдёшем и Реньи, некоторые имеют прямое отношение к сложным сетям. Например, такие: Является ли стандартный граф связным? Содержится ли в нем треугольник из соединенных вершин? Каким образом диаметр зависит от размеров графа?

Процесс создания случайного графа в литературе часто называют эволюцией: начиная с N изолированных вершин, граф последовательно развивается благодаря добавлению новых случайных ребер. Графы, полученные на разных стадиях этого процесса, соответствуют все большим и большим вероятностям p, в конце концов, получаем полный граф (имеющий максимальное количество ребер  ) при p = 1.

Чтобы лучше понять, о чем идет речь, можете ознакомиться с визуализатором.

Основная идея теории случайных графов состоит в том, чтобы определить при какой вероятности p будет проявлено некоторое свойство. Наибольшее открытие Эрдёша и Реньи том, что многие важные свойства случайных графов начинают проявляться довольно внезапно. То есть, при заданной вероятности, либо практически каждый граф обладает свойством Q (состоящем, например, в том, что каждая пара вершин соединена последовательными ребрами), либо практически ни один граф им не обладает. Переход от вероятного к маловероятному событию происходит при этом очень резко. Для многих из таких свойств существует критическая вероятность pc(N). Если p(N) возрастает медленнее, чем pc(N) при N → ∞, то практически ни один граф не будет обладать свойством Q. Если p(N) возрастает несколько быстрее, чемpc(N), практически любой граф будет обладать свойством Q. Таким образом, вероятность того, что граф с N вершинами и функцией распределения ребер p = p(N) обладает свойством Q, задается таким образом:

Наконец, в теории случайных графов вероятность определена как функция от размера системы: p представляет собой дробь от наибольшего возможного количества вершин  . Графы большего размера с тем же самым p будут содержать больше ребер, и, в конце концов, такие свойства, как появление циклов, скорее проявятся в них, чем в графах меньшего размера. Это означает, что для многих свойств случайных графов нет единственного (не зависимого от N) допуска и что мы должны определить функцию допуска, зависящую от размера системы, при  . С другой стороны, можем утверждать, что средняя степень графа имеет критическое значение, не зависящее от размера системы. В следующем подразделе мы проиллюстрируем эти идеи путем рассмотрения появления различных подграфов случайных графов.