Введение

Сложные сетеобразные конструкции описывают широкое множество систем огромной технологической и интеллектуальной важности. Например, клетку лучше всего описывает сложная сеть химических элементов, соединенных химическими реакциями; Интернет — это сложная сеть маршрутизаторов и компьютеров, соединенных различными физическими и беспроводными связями; привычки и мнения распространяются по общественной сети, вершинами которой являются отдельные люди, а ребрами — различные социальные отношения; Всемирная Паутина — это огромная виртуальная сеть веб-страниц, соединенных гиперссылками.

Эти системы представляют только малую часть примеров, которые не так давно подсказали ученым о надобности исследовать механизмы, которые определяют топологию сложных сетей. Исторически изучением сложных сетей занимается теория графов. В то время как теория графов изначально описывала регулярные графы, начиная с 1950-го года, сложные сети, не имевшие очевидных принципов построения, стали описывать с помощью теории случайных графов, предложенных в качестве наиболее подходящей модели сложных сетей. Впервые случайные графы были изучены венгерскими математиками Полом Эрдёшем (Paul Erdős) и Альфредом Реньи (Alfred Rényi). Согласно модели Эрдёша-Реньи, имеем N вершин и, соединяя каждую пару вершин с вероятностью p, создаем граф с приблизительно  случайно распределенными ребрами.

Данная статья посвящена рассмотрению именно этой модели, которая соответствовала предположениям о строении сложных сетей на протяжении десятилетий после ее формулировки. Но всевозрастающий интерес к сложным системам заставил ученых пересмотреть устоявшееся мнение, задавшись вопросом: действительно ли реальные системы, как, например клетка или Интернет, являются случайными? Три концепции, в основном, занимают ведущее место в современном представлении о сложных сетях.

Основные концепции моделирования

Малые миры. Концепция малых миров довольно просто описывает тот факт, что, несмотря на их огромные размеры, в большинстве сетей существует сравнительно короткий путь между двумя любыми вершинами. Расстояние между двумя вершинами определяется как число ребер наикратчайшего пути, их соединяющего. Но, принцип «малых миров», хотя и интригует, не является специальным принципом организации. Наконец, Эрдёшем и Реньи показано, что среднее расстояние между двумя вершинами в случайном графе растет как логарифм от числа вершин. Тем не менее, случайные графы являются малыми мирами.

Кластерность. Общее свойство социальных сетей состоит в том, чем является клика графа, представляя собой круг друзей и знакомых, в котором каждый участник знаком друг с другом. Эта тенденция к разбиению на кластеры определяется коэффициентом кластерности (Watts, Strogats 1998). Сначала выберем в сети некоторую вершину i, имеющую Ki ребер, которые соединяют ее с Ki другими вершинами. Если первые ближние соседи этой вершины являются частью клики, между ними существует   ребер. Отношение между числом Ei ребер, действительно существующих между Ki вершинами, и общим числом ребер   является значением коэффициента кластерности вершины i:  . Общий коэффициент кластерности сети находится как сумма коэффициентов отдельных вершин. В случайном графе, поскольку ребра распределяются случайным образом, коэффициент кластерности составляет C = p. Правда, Ватс и Строгатс первыми указали на факт, что во многих, если не во всех, реальных сетях коэффициент кластерности обычно значительно больше, чем в случайных сетях с таким же количеством ребер и вершин.

Распределение степеней. Не все вершины сети имеют одинаковое количество ребер. Распределение количества ребер вершины, то есть степень вершины, характеризуется функцией P(k), которая определяет вероятность того, что случайно выбранная вершина будет иметь ровно k ребер. Поскольку в случайном графе ребра распределяются случайным образом, большая часть вершин имеет приблизительно одинаковую степень, близкую к средней степени <k> сети. Распределение степеней вершин случайного графа является распределением Пуассона с пиком в P(<k>). С другой стороны, последние эмпирические результаты говорят о том, что для большинства сетей распределение степеней значительно отличается от распределения Пуассона. В частности, для многих сетей, включая Всемирную паутину (Albert, Jeong, Barabasi 1999), Интернет (Falautsos 1999), распределение степеней вершин является степенным: P(k) ≈ k^−π. Такие сети называют сетями без масштабирования (Barabasi, Albert 1999). В то время как некоторые сети имеют экспоненциальное распределение, часто форма функции P(k) значительно отличается от распределения Пуассона, ожидаемого для случайного графа.

Эти три концепции (малая длина пути, кластерность, степень без масштабирования) привели к раздору в моделировании сетей в последние несколько лет, дав жизнь трем основным классам парадигм моделирования. Во-первых, случайные графы, являющиеся вариантом модели Эрдёша-Реньи, до сих пор используются во многих областях и являются основой для моделирования и эмпирических учений. Во-вторых, сразу после формулировки кластерности, появился класс моделей, в целом называемых моделями малого мира. Эти модели представляют собой нечто среднее между высоко фрагментированными регулярными решетками и случайными графами. Наконец, открытие степенного распределения степеней вершин привело к появлению различных моделей без масштабирования, которые, концентрируясь на динамике сетей, должны объяснить происхождение степенного распределения степеней вершин и прочих отклонений от распределения Пуассона, имеющих место в реальных системах.

Как говорилось ранее, в данной статье рассмотрены случайные графы так, как они изначально были введены Эрдёшем и Реньи.