Общий порядок расчета и построения эпюры.

1. Намечаем характерные сечения стержня.

2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

3. По найденным значениям моментов строим эпюру.

Построение эпюр крутящих моментов (пример)

Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня

Пусть прямолинейный стержень нагружен внешними сосредоточенными крутящими моментами M_кв1=-30кН·м, M_кв2=50 кН·м, и распределенным моментом m₁=10кН. Реакции левой опоры можно не определять, т.к. в этом примере можно ограничиться рассмотрением лишь сил, приложенных к правым оставленным частям (справа от сечений).

1. Число характерных сечений — 6 Для заданного консольного стержня вычисления удобно вести, идя справа налево, начав их с 1–го сечения.

2. Проведем сечение 1. Определим крутящий момент в текущем сечении:

M_к1= M_кв2= 50 кНм

3. Проведем сечение 2. Отбросим левую часть, заменим ее действие крутящим моментом M_к2 и составим уравнение равновесия в моментах относительно оси бруса. Из уравнения равновесия получаем выражение для крутящего момента в сечении 2:

M_к2 = M_к1 = M_кв2 = 50 кНм

3. Проведем сечение 3, отбрасываем левую часть, составляем уравнение равновесия и получаем:

M_к3 = M_кв2 – m₁*4 = 50 – 10*4 = 10 кНм

4. Аналогично для сечения 4:

M_к4 = M_к3 = 10 кНм

5. Также для сечения 5:

M_к5= M_к4-M_кв1= 10 – 30 = -20 кНм

6. Для сечения 6:

M_к6= M_к5 =-20 кНм

7. По полученным значения строим эпюру крутящих моментов (см. рис.).

Скачок на левом конце эпюры дает величину опорного момента (реактивного момента в заделке) M_к6, так как реактивный момент – это внутреннее усилие, действующее в поперечном сечении, где соединены торец стержня и заделка.

Правила контроля правильности эпюр крутящих моментов

Для эпюр крутящих моментов характерны некоторые закономерности, знание которых позволяет оценить правильность построений.

• Эпюры крутящих моментов всегда прямолинейные.

• На участке, где нет распределенных моментов, эпюра M_к – прямая, параллельная оси; а на участке с распределенными моментами – наклонная прямая.

• Под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре M_к будет скачок на величину этого момента.

25 вопрос- Напряжения при кручении

Напряжения в поперечном сечении

Опыты показывают, что если на поверхности бруса круглого сечения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности нанести радиальные линии (рис.5.5), то после деформации кручение окажется что:

- все образующие поворачиваются на один и тот же угол  , а прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы;

- торцевые сечения остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются;

- каждое сечение поворачивается относительно другого на некоторый угол  , называемый углом закручивания;

- радиальные линии на торцевой поверхности остаются прямыми.

На основании этих наблюдений можно заключить, что может быть принята гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений), а в вале возникают условия чистого сдвига, в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, нормальные напряжения равны нулю.

Рассмотрим поперечное сечение вала, расположенное на некотором расстоянии z от торцевого, где М_к=T (рис.5.5). На элементарной площадке dF будет действовать элементарная сила  , момент который относительно оси вала равен  . Крутящий момент М_к, в сечении равен

.                                   

26 вопрос- Расчеты на прочность при кручении

Условие прочности бруса при кручении заключается в том, что наибольшее касательное напряжение, возникающее в нем, не должно превышать предельно допустимое. При этом расчетная формула на прочность имеет вид:

τ_max = М_кр / W_r ≤ [τ_кр],

где [τ_кр] - предельное допускаемое напряжение.

При практических расчетах, определяя предельные допускаемые напряжения для различных материалов, используют зависимость между напряжениями при растяжении и напряжениями при кручении, которая для стали и чугуна имеет вид: для стали - [τ_кр] = 0,55....0,6 [σ_р] для чугуна - [τ_кр] = 1,0....1,2 [σ_р])  (здесь [σ_р] - справочная или определяемая экспериментально величина, (предельное допустимое напряжение растяжения) характеризующая материал бруса (вала).

27 вопрос- Расчет на жесткость при кручении

Кроме требования прочности к валам предъявляются требования жесткости, которое заключается в том, что угол закручивания участка вала длиной 1 м не должен превышать предельной величины, определяемой требованиями конструкции. Допускаемый угол закручивания 1 м длины вала задается в градусах и обозначается [φ₀°].  Расчетная формула на жесткость при кручении имеет вид:

φ₀°= 180 М_кр / (пGI_r) ≤ [φ₀°]

В реальных механизмах обычно допускаются углы закручивания валов в пределах [φ₀°] = 0,25...1 градус/м.

28 вопрос- Изгиб, основные определения

Изгиб — в сопротивлении материалов вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьевили изменение кривизны осей кривых брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, изгиб называется косым.

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб.

Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом.

29 вопрос- Внутренние силовые факторы при изгибе.Изгибающий момент

Изгибающий момент — момент внешних сил относительно сечения балки.

Для внутренних усилий приняты следующие правила знаков. 

Изгибающий момент считается положительным, если растянуты нижние и сжаты верхние волокна. Поперечная сила считается положительной, если стремится повернуть выделенную часть балки по ходу часовой стрелки (рис. 6.3). Между изгибающим моментом  , поперечной силой   и интенсивностью распределенной нагрузки   существуют дифференциальные зависимости   ;   ;   .

График, показывающий изменение изгибающего момента вдоль оси балки, называется эпюрой изгибающих моментов (Эп.М_х). График, показывающий изменение поперечной силы вдоль оси балки, называется эпюрой поперечных сил (Эп.Q_y). Для построения эпюр находят опорные реакции балки, потом балку разделяют на участки, на каждом из которых получают методом сечений уравнения   и  , а затем строят графики полученных функций. Ординаты эпюры   откладывают со стороны растянутых волокон балки (положительные – вниз от оси, отрицательные – вверх от оси). Положительные ординаты эпюры   откладывают вверх от оси, отрицательные – вниз от оси графика.

Внутренние усилия возникают во всех точках поперечного сечения балки и распределены по неизвестному закону. Не имея возможности определить эти внутренние усилия для каждой точки сечения, заменяем их статически эквивалентными внутренними силовыми факторами, приложенными в центре тяжести поперечного сечения.

Внутренние силовые факторы определяются из условия равновесия рассматриваемой части балки. Однако можем внутренние силовые факторы найти и непосредственно, как действие отброшенной левой части на правую часть. 

При прямом изгибе в поперечном сечении балки возникают два внутренних силовых фактора:

изгибающий момент, численно равный алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к отбрасываемой части балки, относительно главной центральной оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (в рассмотренном нами случае изгибающий момент равен:  );

поперечная сила, численно равная алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), действующих на отбрасываемую часть балки (в нашем случае поперечная сила равна:  ).

Поперечный изгиб - изгиб, при котором в поперечном сечении балки возникают и изгибающий момент, и поперечная сила. Если поперечная сила не возникает, изгиб называется чистым изгибом.

30 вопрос- Прямой поперечный изгиб. Теорема Журавского.

Пр ямой поперечный изгиб балки (плоский изгиб)вызывается нагрузками (сосредоточенные силы, распределенные силы, пары сил), расположенными в одной из главных центральных плоскостей инерции балки (при этом силы перпендикулярны продольной оси балки)

Формула Журавского позволяет определить касательные напряжения при изгибе, возникающие в точках поперечного сечении балки, находящиеся на расстоянии от нейтральной оси x.

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости, основанные на теореме Журавского, названной по имени русского инженера-мостостроителя Д. И. Журавского (1821-1891 г.г.).  Эта теорема формулируется так: Поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по абсциссе сечения балки.