7. Практичний гармонічний аналіз.

Теорія розкладу функцій в тригонометричні ряди носить назву гармонічного аналізу. В практиці гармонічним аналізом називають представлення функцій, отриманих при розв'язуванні конкретних задач у вигляді ряду Фур'є. Коефіцієнти такого ряду Фур'є. як правило, обчислюють наближено. Якщо функції отримані з експериментальних даних, то вони зазвичай мають вигляд графіків або таблиць. У цих випадках коефіцієнти ряду Фур'є обчислюють за допомогою наближених методів інтегрування. Для наближеного обчислення інтегралів

застосуємо будь-який з методів наближеного інтегрування. Застосуємо, наприклад, формулу лівих прямокутників (дивись наближені методи обчислення визначених інтегралів). Відрізок [ ] поділимо на рівних частин, тобто крок поділу візьмемо рівним . Позначимо точки поділу відрізку через , а значення функції в точках поділу через . Тоді

,

,

.

Для полегшення обчислення коефіцієнтів Фур'є використовують різноманітні схеми та шаблони, а в більш складних випадках обчислення проводять з допомогою ЕОМ.

Приклад 1. Знайти тригонометричний многочлен другого порядку для функції, графік якої приведений на рис. 3.

Розв’язання: Поділимо відрізок на 12 частин, отримавши крок поділу. З графіку функції безпосереднім вимірюванням ординат знаходимо: у₀ =44, у₁ =46, у₂ =76, у₃ =88, у₄ =81, у₅ =63, у₆ =24, у₇ =20, у₈ =26, у₉ =40, у₁₀ =58, у₁₁= =65, у₁₂ =67.

Тоді по формулах наближеного обчислення коефіцієнтів ряду Фур'є одержимо:

;

;

.

Таким чином,

Для функцій, заданих аналітично коефіцієнти ряду Фур'є знаходяться згідно приведених формул.

Приклад 2. Розкласти в ряд Фур'є криву двохпівперіодного випрямленого синусоїдального струму

Розв’язання: Дану функцію можна представити у вигляді

.

Замінимо і продовжимо функцію періодично на всю числову вісь (рис.4).

Тоді

Отримана функція парна, отже . Обчислимо коефіцієнти :

При непарному ; при парному

Функція розклалась в ряд Фур'є

а початкова функція , відповідно, в ряд Фур'є

Приклад 3. Розкласти в ряд Фур'є криву однопівперіодного випрямленого синусоїдального струму:

,

Розв’язання: Нехай , тоді:

Графік функції представлено на рис. 5

Отримаємо:

,

З попереднього прикладу відомо, що при непарному , а при парному

Знайдемо :

Якщо , то

якщо , то .

Функція розклалась в ряд Фур'є:

.

Отже:

8. Питання для самоперевірки.

1. Дати означення числового ряду.

2. Що називається частковою сумою ряду?

3. Які ряди називаються збіжними?

4. Що називають сумою збіжного ряду?

5. Які ряди називають розбіжними?

6. Чи має суму розбіжний ряд?

7. Чи може збігатися ряд, якщо ?

8. Чи можна стверджувати, що ряд збігається, якщо ?

9. Чи можна розв’язати питання про збіжність ряду, не користуючись необхідною ознакою збіжності?

10. Які ознаки збіжності числових рядів з додатніми членами базуються на порівнянні рядів?

11. Сформулюйте ознаку Даламбера.

12. Сформулюйте ознаку Коші.

13. Який ряд називається знакозмінним?

14. Сформулюйте ознаку Лейбніца.

15. Який ряд називається абсолютно збіжним?

16. Який ряд називається умовно збіжним?

17. Який ряд є геометричною прогресією?

18. Який ряд називається гармонічним?

19. Який ряд називається функціональним?

20. Як знайти область збіжності функціонального ряду?

21. Який ряд називається степеневим?

22. Що називають інтервалом збіжності степеневого ряду?

23. Як знайти інтервал збіжності степеневого ряду?

24. Який вигляд має ряд Маклорена?

25. За допомогою яких формул обчислюють коефіцієнти ряду Маклорена?

26. Знайти ряд Маклорена для функції: , , , , , .

27. Який вигляд має гармонічна функція?

28. Що називають рядом Фур'є?

29. Запишіть формулу для обчислення коефіцієнтів ряду Фур'є для функції з періодом .

30. Запишіть формули для обчислення коефіцієнтів ряду Фур'є для парної та непарної функції.