6. Тригонометричний ряд. Ряд Фур’є.
Періодичну функцію f (х) з періодом Т = можна представити як суму ряду такого виду:
де
0,
1,
1,
2,
2,
... –
постійні величини.
Такий ряд називають тригонометричним рядом, а сталі 0, 1, 1, 2, 2, ... – коефіцієнтами ряду. Говорять, що такий запис представляє собою розклад періодичної функції f (х) в тригонометричний ряд. Покладемо t = х тоді ряд набуде вигляду:
.(Т)
Як
бачимо, всі доданки ряду Т — тригонометричні
функції з спільним періодом
.
Тому й сума ряду Т буде періодичною
функцією з таким самим періодом. В силу
періодичності
суми ряду Т
розкласти
в тригонометричний ряд неперіодичну
функцію
можна лише на відрізку, довжина якого
дорівнює
.
В подальшому використовується
відрізок (
).
Перейдемо до питання знаходження коефіцієнтів ряду. Формули знаходження коефіцієнтів виводяться шляхом інтегрування лівої та правої частини ряду (Т) і домноженням на cos nx або sin nx. Запишемо формули:
;
;
(n
= 1,
2, 3 ...),
;
(n
= 1,
2, 3 ...).
Тригонометричний ряд, коефіцієнти якого визначені за приведеними формулами називають рядом Фур'є функції f (х) , а функцію f (х) - породжуючою для ряду.
З вище записаних формул легко можна показати, що якщо f (х) - парна функція, то
;
;
(говорять, що функція розкладається в ряд Фур’є по косинусах);
якщо f
(х) – непарна функція, то
0
= 0;
n
= 0;
(функція розкладається в ряд Фур’є по синусах).
Зауважимо, що записаний для функції f (х) ряд Фур’є не завжди збігається саме до неї приведемо достатню умову збіжності ряду Фур’є до породжуючої його функції.
Теорема. Якщо функція f (х) має скінченну кількість точок розриву І роду на проміжку ( ), то її ряд Фур’є збігається до неї на цьому проміжку.
Приклад
14.
Розкласти в ряд Фур’є
періодичну функцію у =
з періодом
.
Розв’язання:
х
б) Дана функція парна, тому коефіцієнти будемо знаходити за формулами:
;
;
;
в) Обчислимо коефіцієнти ряду Фур’є:
;
Отже,
знайдено
;
даний інтеграл знаходимо інтегруванням частинами:
|
|
|
|
Тоді
.
Враховуючи,
що sin0
і
sin
дорівнює
0, отримаємо:
Отже,
г) Підставимо знайдені значення у формулу
отримаємо:
Приклад 15. Розкласти в ряд Фур’є періодичну функцію f (х) = х (Т = = ).
Розв’язання:
а) Побудуємо графік даної функції з врахуванням періодичності:
б) Дана
функція непарна, отже
,
.
в) Обчислимо коефіцієнти ряду
=
|
|
|
|
=
=
=
-
якщо n
– парне;
- якщо
n
– непарне.
Тут
враховано, що sin
=sin
0 = 0, cos
=±1
в
залежності від значень
.
г) Підставимо знайдені значення в ряд Фур’є, який в даному випадку має вигляд
.
Отримаємо
х
2sin
x – sin2x +
sin3x - ...(-1)n+1
sin
nx + ... = 2
.
Приклад
16. Розкласти
в ряд Фур’є
періодичну (Т = 2
)
функцію
Розв’язання:
а)
Побудуємо графік даної функції, врахувавши
періодичність:
х
,
,
;
в) Обчислимо коефіцієнти ряду
,
Отже,
;
;
і т.д.
Отже,
;
;
;
і т.д.
г) Підставимо знайдені значення в загальний вигляд ряду Фур’є і отримаємо:
Функції, які ми розклали в ряд Фур’є були неперервними на ( ). Якщо ж функція має точки розриву на ( ), або необхідно встановити збіжність ряду Фур’є на кінцях відрізку, то використовують теорему Діріхлє.
Теорема Діріхлє. Якщо функція f (х) кусково – неперервна на проміжку [ ] (тобто має лише скінченну кількість точок розриву на цьому проміжку) і має скінченне число точок екстремуму, то ряд Фур’є цієї функції збігається в усіх точках даного проміжку, причому:
а) в точках неперервності функції його сума рівна f (х);
б) в
точках розриву функції
f
(х) його сума рівна
;
в) на
кінцях проміжку сума ряду рівна
.
Приклад 17. Розкласти в ряд Фур’є періодичну (Т = 2 ) функцію
Розв’язання:
а) Побудуємо графік даної функції, врахувавши періодичність
б) Дана функція є ні парна, ні непарна, і має розрив в точці х = 0 з проміжку ( ) та на кінцях проміжку.
Згідно з теоремою Діріхлє сума ряду Фур’є S1 в т. х = 0 обчислюється за формулою
,
а
сума ряду S2
в т. х =
обчислюється за формулою
.
в) Для знаходження коефіцієнтів ряду Фур’є використаємо відомі формули .
Обчислимо коефіцієнти ряду:
;
;
г)
Запишемо розклад даної функції в ряд
Фур’є,
для точок з проміжків (
;0)
(0;
).
В точках х = 0; даний ряд збігатиметься до числа 3/2.