5. Гармонічні коливання.

Загальною ознакою всіх коливальних рухів є те, що вони періодично повторюються ( або наближено повторюються ) через певні проміжки часу. При вивченні коливань нас цікавлять, в основному, ті ознаки, які характеризують повторювальність рухів. Це закон, по якому повторюється рух, час, через який система знову прийде в початковий стан, найбільші відхилення, яких досягає рухоме тіло і т.д. Найбільш простими коливальними процесами є рух маятника (при малих відхиленнях), рух тіла на пружині, напруга і сила змінного струму. Маючи різну фізичну природу всі ці процеси математично описуються одним і тим же рівнянням. Як приклад, розглянемо коливання матеріальної точки масою М навколо положення рівноваги (рис. 2). Невідомим є закон руху х = х(t). Згідно закону Гука сила, що діє на тіло прямо пропорційна відхиленню точки від положення рівноваги:

F = - kx,

а згідно другого закону Ньютона ця ж сила рівна:

F = M x",

де k - коефіцієнт жорсткості пружини, М - маса тіла, х"- прискорення руху тіла. Для визначення закону руху тіла ми отримали диференціальне рівняння:

M x" = - kx, або M x" + kx = 0.

Розв'яжемо це рівняння, поділивши праву і ліву частини на М:

x" + px = 0.

Це лінійне однорідне диференціальне рівняння II порядку зі сталими коефіцієнтами, його характеристичне рівняння має вигляд

r² + p = 0.

Розв’язки складеного характеристичного рівняння комплексно- спряжені

r₁ = + і , r₂ = - і .

Позначивши через , одержимо

х = С₁ cos ( t) + C₂ sin ( t).

Нехай С₁ = А sin , С₂ = А cos , тоді

х = А (sin · cos ( t) + cos · sin ( t)),

або

х = Аsin ( t + ).

Розв'язок показує, що рух відбувається по закону синуса (або косинуса).

Такий рух носить назву простого гармонічного коливання. Оскільки , то постійна А визначає найбільше відхилення точки від центра коливань. Її називають амплітудою коливання. Величина визначає початкове положення тіла, її називають початковою фазою. Період коливання Т визначається по формулі

Т = ,

а величина , обернена до періоду визначає число коливань за одну секунду, її називають частотою коливань

= .

(Іноді частотою називають величину . Вона виражає число коливань за секунду).

Для побудови графіків гармонічних коливань використовують елементарні перетворення графіку функції у = sin х.

Рівняння

х = Аsin ( t + )

називають рівнянням гармонічних коливань, або просто гармонікою.

Більш складні коливання , якщо це можливо, вигідно представляти як суму декількох гармонічних коливань з однаковими частотами. Таким чином, виникає питання додавання гармонічних коливань. Сума двох гармонічних коливань з однаковими частотами, але різними фазами та амплітудами, буде теж гармонічним коливанням з тою ж частотою, проте з новою фазою та амплітудою. Якщо

у₁ = А₁ sin ( t + ₁),

у₂ = А₂ sin ( t + ₂),

то у = у₁ + у₂ = Аsin ( t + ), де

,

.

Сума двох коливань з різними частотами не буде гармонічним коливанням. Для побудови графіка суми двох гармонічних коливань з різними частотами використовують графічний метод, який полягає в сумуванні ординат графіків у вузлових точках.

Довільний закон руху, чи більш загально, довільну функцію можна представити як нескінченну суму простих гармонік, тобто у вигляді тригонометричного ряду.