1.2 Основная и эквивалентная системы.

Канонические уравнения метода перемещений.

Основной системой называется кинематически определимая и геометрически неизменяемая система, полученная из заданной системы путем наложения дополнительных связей, предотвращающих возможные линейные и угловые перемещения. Основная система с наложенной на нее заданной внешней нагрузки называется эквивалентной системой.

При расчете методом перемещений система расчленяется на ряд однопролетных статически неопределимых балок. Это достигается введением в нее дополнительных связей. Дополнительно введение связи делятся на:

1. связь, препятствующую повороту «жесткого» узла системы –

защемляющая связь (заделка);

2. связь, препятствующую линейному смещению узлов системы –

дополнительные внутренние элементы или опорные стержни.

Введенные в основную систему метода перемещений защемляющие связи отличаются от обычного абсолютно жесткого защемления (заделки) тем, что оказывают препятствие лишь повороту узла и не лишают его линейной подвижности. Реакции таких связей представляют собой моменты, приложенные в узлах системы (рис. 7).

Предотвращает поворот, но не мешает линейному смещению по горизонтали

Предотвращает поворот, но не мешает линейному смещению по горизонтали и вертикали

Рис. 7

Что касается связей, уничтожающих линейные смещения, то введение таких связей можно осуществить различными путями. Например, можно поставить раскос 1-3 (рис.8а) или раскос 2-4 (рис.8б), или наклонный опорный стержень (рис.8в) или горизонтальный опорный стержень (рис.8г).

При введении в сооружение дополнительных связей, препятствующих линейному смещению узлов, предпочтение отдается связям, соединяющим узлы с «землей», а не друг с другом, то есть опорным стержням, а не дополнительным элементам сооружения. При наличие в системе горизонтальных или вертикальных стержней рекомендуется вводить горизонтальные или вертикальные опорные стержни (а не наклонные). Например, на рисунках 8 предпочтительно выбрать систему на рис.8г.

Для получения основной системы метода перемещений в заданную систему без нагрузки, во-первых, во все «жесткие» узлы следует ввести заделки, препятствующие повороту узлов, и, во-вторых, ввести стержни, препятствующие линейным смещениям.

Например, на рис.9 основная система получена путем наложения на заданную систему без нагрузки трех дополнительных связей(n_к = 3): одной, предотвращающей линейное перемещение (n_л = 1) – горизонтальный опорный стержень; двух, предотвращающих повороты узлов (n_у = 2) – две заделки.

Рис.9

Эквивалентную систему метода перемещений, представляющую собой заданную систему с наложенными на нее связями, препятствующими повороту и смещению узлов, можно назвать кинематически определимой.

В статическом отношении, эквивалентная система метода перемещений , отличается от заданной тем, что в ней возможно появление реактивных моментов во введенных заделках и реактивных усилий в добавленных стержнях. Реактивные моменты и реактивные силы можно обратить в ноль, если повернуть заделки на углы, равные действительным поворотам узлов, и сместить узлы так, чтобы линейные перемещения их также были равны действительным, т.е. возникающим в заданной системе.

Z₃

Z₂

Z₁

Рис.10

Отрицание реактивных усилий (сил или моментов) во введенных заделках и стержнях основной системы, т. е. отрицание реактивных усилий по направлениям неизвестных перемещений, лежит в основе уравнений метода перемещений. Таким образом, условие равенства эквивалентной и заданной систем математически сводится к удовлетворению системы n линейных уравнений:

r₁₁Z₁ + r₁₂Z₂ + …+ r_1nZ_n + R_1Р = 0,

r₂₁Z₁ + r₂₂Z₂ + …+ r_2nZ_n + R_2Р = 0,

……………………………………..

r_n1Z₁ + r_n2Z₂ + …+ r_nnZ_n + R_nР = 0.

Эти уравнения являются теми дополнительными статические уравнения, которые позволяют раскрыть кинематическую неопределимость заданной системы. Данные уравнения называются каноническими уравнениями метода перемещений. Первое из этих уравнений выражает мысль о равенстве нулю реактивного усилия в эквивалентной системе, в первой дополнительно введенной связи (в опорном стержне), второе – выражает мысль о равенстве нулю реактивного момента в эквивалентной системе во второй дополнительно введенной связи (в заделке) и т.д.

Число уравнений равно числу дополнительно введенных связей, т.е. степени кинематической неопределимости заданной системы.

Z₁, Z₂, Z₃, … Z_n – неизвестные перемещения (линейные смещения узлов или углы поворота узлов).

В системе канонических уравнений в качестве коэффициентов при неизвестных стоят r₁₁, r₁₂, r₁₃, … r_nn, - реактивные усилия в дополнительно введенных стержнях и реактивные моменты в дополнительно введенных заделках основной системы, возникающие от действия единичных поворотов узлов и единичных линейных смещений, а R_1р …R_nр - реактивные усилия в дополнительно введенных стержнях и реактивные моменты в дополнительно введенных заделках основной системы, возникающие от действия заданной внешней нагрузки. Коэффициенты r_ij носят название единичных коэффициентов канонических уравнений. Коэффициенты R_iр называются грузовыми коэффициентами или свободными членами канонических уравнений.

Коэффициенты r_ii называются главными коэффициентами, а коэффициенты r_ij – побочными. На основании теоремы о взаимности перемещений r_ij = r_ji .

Для определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений необходимо предварительно построить эпюры изгибающих моментов в основной системе от нагрузки и от единичных неизвестных перемещений (по направлениям введенных закреплений). Построение их производится с помощью данных, приведенных в таблице 2.

Определяются коэффициенты канонических уравнений двумя способами:

1. С помощью интегралов Мора по формулам

(по правилу Верещагина или по формуле Симпсона, используя таблицу 1):

r_ij =

R_iр =

т.к. рамы это конструкции, работающие преимущественно на изгиб, то в выражении интегралов Мора с соблюдением достаточной точности остаются только слагаемые, зависящие от изгибающих моментов.

2. Статическим способом, основанном на условии статического равновесия любой отсеченной части рамы. Все коэффициенты и свободные члены канонических уравнений разделим на две группы:

1) коэффициенты, представляющие реактивные моменты

2) коэффициенты, представляющие реактивные усилия.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные моменты во введенных заделках, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений равновесия вида:

Коэффициенты и свободные члены, представляющие реактивные усилия во введенных стержнях, можно определить при помощи разреза элементов рамы и составления уравнения равновесия сил, действующих на отсеченную часть:

Направление оси Т выбирается так, чтобы уравнение получилось более простым. (Например если реактивное усилие направленно по горизонтали, то и ось выбирается горизонтальная – ось Х).

Установим следующее правило знаков для реакций заделок и опорных стержней. Реактивное усилие будем считать положительным, если направление его действия совпадает с принятым направлением поворота или линейного смещения узла.