4. Прохождение плоской волны через границу раздела двух сред. Коэффициенты Френеля. Явление полного внутреннего отражения. Угол Брюстера. Приближенные граничные условия Леонтовича.

Пусть плоская волна из среды с параметрами ₁ ₁ падает на плоскую границу раздела со средой, имеющей параметры ₂ ₂. При этом часть мощности отражается, часть проходит во вторую среду, вследствие чего возникают отраженная и преломленная волны. Плоскость, содержащая нормаль к границе раздела и волновой вектор (или вектор Пойнтинга) падающей волны называется плоскость падения. Чтобы определить соотношения между комплексными амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн, достаточно рассмотреть два частных случая для линейно поляризованных волн: нормально поляризованная волна (вектор Е нормален к плоскости падения) и параллельно поляризованная волна (вектор Е лежит в плоскости падения).

1. Нормально поляризованная волна

 – угол падения, – угол отражения,

 – угол преломления.

Поле падающей волны:

Е₁ = х_оЕ_1х Е_1х= Е_падexp[-ik₁(-ycos+zsin)],

Н₁=( y_osin + z_ocos)H₁, H₁= exp[-ik₁(-ycos+zsin)],

компоненты поля отраженной волны:

Е_1х=Е_отрexp[-ik₁(ycos+zsin)], H₁= – exp[-k₁(ycos+zsin)].

компоненты поля преломленной волны:

Е_2х=Е_прexp[-ik₂(ycos+zsin)], H₂= exp[-ik₂(ycos+zsin)].

На границе раздела (у = 0) должны выполняться граничные условия: Е_1 = Е_2, Н_1 = Н_2. Для нормально поляризованной волны имеем: Е_1 = Е_падexp(-ik₁zsin) + Е_отрexp(-ik₁zsin), Е_2= Е_прexp(-ik₂zsin). Чтобы условие Е_падexp(-ik₁zsin) + Е_отрexp(-ik₁zsin) = Е_прexp(-ik₂zsin) выполнялось при любых z, должно выполняться k₁sin = k₁sin= k₂sin, откуда следует: sin = sin и k₁sin = k₂sin – законы Снелиуса.

Учитывая Н_1= ( – )cos и H_2= cos, запишем граничные условия в виде:

откуда , _,

где R_ и T_ – коэффициенты Френеля для нормально поляризованной волны. (R_ – коэффициент отражения, T_ – коэффициент прохождения). Согласно закону сохранения энергии R²_ + T²_= 1.

К

^{, ,}

омпоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:

(1)

2. Параллельно поляризованная волна

Поле падающей волны:

Н₁ = х_оН_1х Н_1х= Н_падexp[-ik₁(-ycos+zsin)], Е₁=(y_osin + z_ocos)Е₁, Е₁= Н_падZ₀₁exp[-ik₁(-ycos+zsin)],

компоненты поля отраженной волны:

Н_1х=Н_отрexp[-ik₁(ycos+zsin)], Е₁= Н_отрZ₀₁ [-k₁(ycos+zsin)].

компоненты поля преломленной волны:

Н _2х=Н_прexp[-ik₂(ycos+zsin)], Е₂= Н_прZ₀₂exp[-ik₂(ycos+zsin)].

На границе раздела (у=0) для любых z должно выполняться

Н_падexp(-ik₁zsin) + Н_отрexp(-ik₁zsin) = Н_прexp(-ik₂zsin),

Откуда следуют законы Снелиуса: sin = sin и k₁sin = k₂sin.

Учитывая Е_1= (Н_падZ₀₁+ Н_отрZ₀₁)cos и Е_2= Н_прZ₀₂cos, запишем граничные условия для параллельно поляризованной волны в виде:

откуда , ,

где R_ и T_ – коэффициенты Френеля для параллельно поляризованной волны. (R_ – коэффициент отражения, T_ – коэффициент прохождения). R²_ + T²_= 1.

К

, ,

омпоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:

(2)

Для диэлектриков ₁= ₂= ₀, и коэффициенты Френеля можно записать в виде:

,

где – показатели преломления первой и второй среды, соответственно.

Анализ этих выражений показывает, что для параллельно поляризованной волны существует угол падения _Б = /2 – , при котором R_||=0. Этот угол, определяемый из соотношения tg_Б= , называется угол Брюстера или угол полной поляризации, т.к. при падении под углом _Б на границу раздела волны с произвольной поляризацией отраженная волна становится нормально поляризованной, т.е. имеет линейную поляризацию.

Из закона Снелиуса sin  = следует, что в случае n₁>n₂ (волна надает из более плотной среды) существует критический угол падения _кр, при котором sin =1. Если  >_кр, то sin >1 (это возможно, если  мнимая величина), и cos = также становится мнимой величиной. В этом случае поле во второй среде имеет характер неоднородной плоской волны (боковой волны), скорость которой меньше скорости света, амплитуда в направлении нормали к границе раздела убывает по закону , т.е. вдали от границы раздела поле отсутствует, энергия переносится вдоль границы. Это явление называется полным внутренним отражением.

При падении волны из свободного пространства на границу раздела с хорошо проводящей средой, у которой tg1, sin  1, т.е. тангенциальные компоненты поля на поверхности проводника непрерывно переходят в поперечные компоненты поля уходящей вглубь проводника волны. Соотношение между ними можно записать в виде Е_=Z_os[H_y_o], где Z_os – поверхностный импеданс проводящей среды, y_o – орт нормали к границе раздела. Это импедансное граничное условие называют приближенным граничным условием Леонтовича.

Литература.

1. Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. - М.: Сов. радио, 1971.

2. Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М. Наука, 1989