Решение.

Изоб­ра­зим на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти мно­же­ство точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют пер­во­му урав­не­нию си­сте­мы.

Рас­смот­рим два слу­чая:

1) Если 2x − y − 10 ≥ 0, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

 

x² − 8x + y² + 4y + 15 = 8x − 4y −40;

x² − 16x + y² + 8y + 55 = 0;

(x − 8)² + (y + 4)² =25.

 

По­лу­чен­ное урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке O₁(8; −4) и ра­ди­у­сом 5.

2) Если 2x − y − 10 ≤ 0, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

 

x² − 8x + y² + 4y +15 = 4y − 8x + 40; x² + y² = 25.

 

По­лу­чен­ное урав­не­ние задаёт окруж­ность с цен­тром в точке O₂(0; 0) и ра­ди­у­сом 5.

по­лу­чен­ные окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в двух точ­ках A(5; 0) и B(3; −4), ле­жа­щие на пря­мой 2x − y − 10 = 0, по­это­му в пер­вом слу­чае по­лу­ча­ем дугу ω₁ с кон­ца­ми в точ­ках A и B, во вто­ром — дугу ω₂ с кон­ца­ми в тех же точ­ках.

За­ме­тим, что точка   лежит на дуге ω₂ и пря­мая O₂C пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой O₁O₂.

Рас­смот­рим вто­рое урав­не­ние си­сте­мы. Оно задаёт пря­мую m, па­рал­лель­ную пря­мой O₁O₂ или сов­па­да­ю­щую с ней.

При a = 5 пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в точке A и ещё в одной точке, от­лич­ной от точки A, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет три ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но, при a = −5 пря­мая m про­хо­дит через точку B и ис­ход­ная си­сте­ма имеет три ре­ше­ния.

При   пря­мая m про­хо­дит через точку C, зна­чит, пря­мая m ка­са­ет­ся дуг ω₂ и ω₁, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

Ана­ло­гич­но, при   пря­мая m ка­са­ет­ся дуг ω₂ и ω₁, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

При   или   пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в двух точ­ках, от­лич­ных от точек A и B, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния.

При −5 < a <5 пря­мая m пе­ре­се­ка­ет каж­дую из дуг ω₁ и ω₂ в точке, от­лич­ной от точек A и B, то есть ис­ход­ная си­сте­ма имеет два ре­ше­ния.

При   или   пря­мая m не пе­ре­се­ка­ет дуги ω₁ и ω₂, то есть ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний.

Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет более двух ре­ше­ний при   или 

Ответ: 

Ваша оцен­ка (баллов):     

    Обсудить ВКонтакте    Сообщить об ошибке

Задание с7 № 509953

Критерии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния задания	Баллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) результаты.	4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов.	3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) результатов.	2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щий результатов: — обос­но­ван­ное ре­ше­ние в п. а; — при­мер в п. б; — ис­ко­мая оцен­ка в п. в; — при­мер в п. в, обес­пе­чи­ва­ю­щий точ­ность преды­ду­щей оценки.	1
Решение не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из критериев, пе­ре­чис­лен­ных выше.	0
Максимальный балл	4

Участ­ни­ки одной школы пи­са­ли тест. Ре­зуль­та­том каж­до­го уче­ни­ка яв­ля­ет­ся целое не­от­ри­ца­тель­ное число бал­лов. Уче­ник счи­та­ет­ся сдав­шим тест, если он на­брал не менее 83 бал­лов. Из-за того, что за­да­ния ока­за­лись слиш­ком труд­ны­ми, было при­ня­то ре­ше­ние всем участ­ни­кам теста до­ба­вить по 5 бал­лов, бла­го­да­ря чему ко­ли­че­ство сдав­ших тест уве­ли­чи­лось.

а) Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, по­ни­зил­ся?

б) Могло ли ока­зать­ся так, что после этого сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, по­ни­зил­ся, и сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, тоже по­ни­зил­ся?

в) Из­вест­но, что пер­во­на­чаль­но сред­ний балл участ­ни­ков теста со­ста­вил 90, сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, со­ста­вил 100, а сред­ний балл участ­ни­ков, не сдав­ших тест, со­ста­вил 75. После до­бав­ле­ния бал­лов сред­ний балл участ­ни­ков, сдав­ших тест, стал равен 103, а не сдав­ших — 79. При каком наи­мень­шем числе участ­ни­ков теста воз­мож­на такая си­ту­а­ция?