Кривизна поверхні і додатковий тиск, зумовлений кривизною поверхні

С или поверхневого натягу, коли поверхня рідини не плоска, створюють додатковий тиск до того, який зазнає рідина з плоскою поверхнею. Для випуклої поверхні рідини цей додатковий тиск додатній (рис. 10.1), а для ввігнутої – від’ємний (рис. 10.2).

Знайдемо додатковий тиск для сферичної поверхні рідини радіуса r

Н а цій сфері уявно виділимо сегмент, відмежований від останньої поверхні рідини колом радіусом r = Rsin (рис. 12). На кожній елемент довжини l цього кола в напрямку, дотичному до поверхні сегменту, діє сила поверхневого натягу:

F=l (26)

Розкладемо F на дві складові F₁ і F₂. Для всього периметра кола рівнодійна всіх сил F₂ дорівнює нулю, тобто F₂=0. Сума всіх F₁ дає рівнодійну силу F, направлену по нормалі до площини r²:

F=F₁=Fsin, оскільки F₁=Fsin.

Враховуючи, що: і F=l, маємо:

(27)

Ця рівнодійна сила F поверхневого натягу буде прижимати сегмент до останньої частини рідини, тобто вона буде діяти на межову (яка поділяє їх поверхні) поверхню S=r². Отже, додатковий тиск в середині рідини, створений силами поверхневого натягу і зумовлений кривизною її поверхні, згідно (27) дорівнює:

(28)

Зазначимо, що оскільки у формулу (28) не входить r, то додатковий тиск P не залежить від того, в якому місці поверхні розглядається сферичний сегмент.

Для ввігнутої поверхні її центр кривизни О лежить над рідиною. Повторюючи таке доведення, можна отримати значення додаткового тиску під ввігнутою поверхнею рідини:

(29),

т обто під ввігнутою поверхнею тиск всередині рідини менший, ніж у випадку плоскої поверхні на P. Якщо радіусу R кривизни поверхні надати знак плюс, коли він лежить всередині рідини (випукла поверхня), і знак мінус, коли він лежить поза рідиною (ввігнута поверхня), то формули (28) і (29) можна об’єднати в одну формулу.

(30)

де – кривизна поверхні.

У загальному випадку, коли поверхня рідини відрізняється від сферичної, кривизну поверхні характеризують середньою кривизною, яка може мати різне значення для різних точок поверхні. Середню кривизну поверхні в даній точці визначають через кривизну нормальних перерізів, тобто через кривизну ліній перетину поверхні із взаємно перпендикулярними площинами. При цьому під кривизною кривої приймають величину, обернену її радіусу кривизни. Наприклад, для сфери будь-який нормальний переріз уявляє собою коло радіуса R, а величина буде її кривизною. Півсума обернених радіусів кривизни нормальних перерізів і характеризує середню кривизну поверхні в даній точці:

(31)

Лаплас довів, що формула (30) справедлива для поверхні будь-якої форми, якщо її записати у вигляді:

(32)

де H – середня кривизна поверхні в тій точці, під якою визначається додатковий тиск  P.

Ця формула отримала назву формули Лапласа. Інакше її можна записати у вигляді:

(33)

Для плоскої поверхні R₁= і R₂=, отже тиск P, який часто називають лапласовим, буде дорівнювати нулю.

З точки зору термодинаміки розтікання рідини на поверхні твердого тіла супроводжується зменшенням вільної енергії F_в системи при збільшенні площі контакту рідини з твердим тілом. Зміну вільної енергії при розтіканні рідини можна виразити через поверхневі енергії (коефіцієнти поверхневого натягу) на границях: рідина – газ (₂₃), тверде тіло – газ (₁₃), тверде тіло – рідина (₁₂) отже маємо:

dF_в=₂₃dS₂₃+₁₃dS₁₃+₁₂dS₁₂ (34)

При повному розтіканні рідини

dS₂₃= dS₁₂=- dS₁₃ (35)

Для характеристики сил зчеплення рідини з поверхнею твердого тіла введена величина – робота адгезії, яка дорівнює роботі відриву рідини від твердої поверхні:

A_ад=₁₃+₂₃+₁₂ (36)

або з врахуванням формули (23) маємо:

A_ад=₂₃(1+cos) (37)

Вираз (37) використовують для розрахунку сил зчеплення рідини з твердим тілом.

П оверхня змочуваної рідини, яка утворюється у вузьких капілярах (й трубочках), приймає ввігнуту форму, а незмочуваної рідини – випуклу. Такі поверхні рідини називають менісками.