Розрахунок зміни ентропії в процесах ідеального газу

Тому що ентропія є функцією стану, то її зміна залежить тільки від початкового і кінцевого станів і не залежить від способу переходу з початкового стану в кінцеве. Тоді знаходження зміни ентропії зводиться до обчислення інтеграла

(16)

Розрахунок зміни ентропії в процесах ідеального газу виконується за формулою (11), враховуючи (12):

Зміна ентропії в ізотермічному процесі. Застосуємо для визначення формулу (11), враховуючи, що . В ізотермічному процесі енергетичний стан газу залишається незмінним, а зміни характеристик зумовлені лише зміною об’єму. Для цього випадку:

(17)

З цього випливає:

(18)

Формула (18) після інтегрування дає:

(19)

Тобто зі зростанням об’єму ентропія збільшується. Цей результат пояснюється тим, що збільшується кількість мікростанів, в яких може перебувати система.

Зміна ентропії при ізохорному процесі. При ізохорному процесі ( ).

(20)

Тобто зі зростанням температури ентропія збільшується. Цей результат пояснюється тим, що середня енергія частинок зростає зі зростанням температури, а тому збільшується і число можливих енергетичних станів.

Зміна ентропії при адіабатному процесі. З виразу (16) отримаємо:

(21),

причому , ,

тому .

Тоді формула (21) набуває вигляду:

(22),

оскільки (відповідно до формули Майера).

Таким чином, при адіабатному оборотному процесі ентропія не змінюється. При адіабатичному розширенні газу за рахунок збільшення об’єму ентропія зростає, але, за рахунок зменшення температури, яке при цьому відбувається, вона зменшується і ці обидві тенденції повністю компенсують одна одну.

Зміна ентропії при ізобарному процесі. З виразу (16) отримаємо:

(23),

причому ,

тому .

Тоді формула (23) набуває вигляду:

(24),

оскільки (відповідно до формули Майера).

Таким чином, при ізобарному оборотному процесі ентропія зростає за рахунок збільшення об’єму і зростання температури.

Формулювання другого закону термодинаміки за допомогою ентропії

З астосуємо нерівність Клаузіуса для описання необоротного кругового термо-динамічного процесу, зображеного на рис 2.

Нехай процес буде необоротним, а процес - оборотним. Тоді нерівність Клаузіуса для цього випадку прийме вигляд

(25)

Оскільки процес є оборотним, для нього можна скористатися співвідношенням (15), яке дає

(26)

Підстановка цієї формули в нерівність (25) дозволяє отримати вираз

(27)

Порівняння виразів (15) і (27) дозволяє записати наступну нерівність

(28)

в якому знак рівності має місце у випадку, якщо процес є оборотним, а знак більше, якщо процес - необоротний.

Нерівність (28) може бути також записана і в диференціальній формі

(29)

Якщо розглянути адіабатично ізольовану термодинамічну систему, для якої Q=0, то вираз (29) прийме вигляд

(30)

або в інтегральній формі

(31)

Отримані нерівності виражають собою закон зростання ентропії, який можна сформулювати таким чином:

В адіабатично ізольованій термодинамічній системі ентропія не може убувати: вона або зберігається, якщо в системі відбуваються тільки оборотні процеси, або зростає, якщо в системі протікає хоча б один необоротний процес.

Записане твердження є ще одним формулюванням другого закону термодинаміки.