2. Цикл Карно. Теореми Карно

Е фективність будь-якої теплової машини характеризується ККД - відношенням роботи, що виконується машиною за цикл, до кількості теплоти Q₁, що отримує система за цикл

(5)

При роботі теплової машини робоче тіло, здійснюючи циклічний процес перетворення теплоти Q₁⁽⁺⁾ в роботу А, частину цієї теплоти Q₂^(-) змушене передавати тілу з температурою нижчою, ніж у нагрівника, тобто холодильнику. На практиці найчастіше роль холодильника відіграє атмосфера. Коефіцієнт корисної дії вказує, яка частина теплової енергії, отриманої робочим тілом від «гарячого» теплового резервуара, перетворилася в корисну роботу. Інша частина (1 – η) була «даремно» передана холодильникові. З формули (5) слідує, що ККД любої теплової машини завжди менше одиниці.

Звичайним є питання: як найбільш ефективно перетворювати теплоту Q₁⁽⁺⁾ в роботу А? Тобто як підвищити ККД теплової машини? Вперше на ці питання відповів у 1824 р. французький фізик та інженер Саді Карно, розглянувши циклічний процес взаємоперетворення теплоти в роботу, який пізніше було названо його ім’ям.

Перш ніж переходити до розгляду циклу Карно, зробимо декілька загальних зауважень.

1. Для будь-якої реальної теплової машини весь цикл, включаючи його окремі процеси, необоротний, що викликає необхідність затрачувати частину створеної роботи на повернення робочого тіла в початковий стан для замикання кругового процесу. Вказані втрати призводять до того, що не вся створена робота стає корисною, а частина її витрачається в самій тепловій машині, переходячи в теплоту.

Максимальний ККД має теплова машина, в якій цикл робочого тіла складається тільки з рівноважних теплових процесів, і, отже, є оборотним.

2. Для здійснення нагрівання і охолодження необхідний теплообмін робочого тіла з нагрівником і холодильником теплової машини, який тим більш ефективний, чим помітніше різниця температур. При цьому виникають теплові потоки, які порушують стан теплової рівноваги і роблять ці процеси необоротними (відбувається передача тепла без виконання роботи). Щоб уникнути цього, необхідно теплообмін здійснювати при нескінченно малій різниці температур. Тому реалізувати рівноважний процес при теплообміні можна тільки у разі теплової рівноваги робочого тіла і нагрівника (або холодильника).

Таким чином, теплообмін з нагрівником і холодильником в даній тепловій машині повинен відбуватися при ізотермічних умовах, що еквівалентно вимозі нескінченної повільності протікання процесів. Очевидно, що така умова може бути виконана тільки приблизно.

Інший процес, який може протікати без виникнення теплових потоків - це адіабатичний процес. Якщо він протікає нескінченно повільно, то такий процес буде рівноважним і оборотним.

Вказані два рівноважні процеси (ізотермічний і адіабатичний) можуть бути використані для реалізації оборотного циклу.

Н айбільш простим круговим процесом перетворення теплоти в роботу є цикл Карно, який складається з двох ізотерм (1-2; 3-4), які описують процес теплопередачі від нагрівника до робочого тіла і від робочого тіла до холодильника та двох адіабат (Q=0: 2-3 і 4-1), які описують розширення та стиснення робочого тіла.

Очевидно, що між тілами, що знаходяться при однакових температурах і, отже, в стані теплової рівноваги, не може відбуватися теплообмін. З цього виходить, якщо вважати процеси строго ізотермічними, то робоче тіло не повинно нагріватися від нагрівника і охолоджуватися холодильником. Тобто в циклічному процесі, що складається з двох ізотерм і двох адіабат, не може відбуватися передача теплоти між нагрівником (або холодильником) і робочим тілом.

Візьмемо в якості робочого тіла олин моль ідеального газу і розглянемо схему циклу Карно більш детально.

Ізотермічне розширення

Адіабатне розширення

Ізотермічне стискування

Адіабатне стискування

1. “1-2” - ізотермічне розширення газу. Робоче тіло знаходиться у тепловому контакті з одним з термостатів – нагрівником, який за рахунок великої теплоємності має постійну температуру T₁. Для того, щоб теплота могла-таки передаватись від нагрівника робочому тілу, вважають, що їх температури відрізняються на нескінченно малу величину. При цьому передача теплоти (яка відбувається практично ізотермічно) протікає дуже повільно і сам процес є оборотнім. Кількість теплоти, що на цій ділянці отримує робоче тіло, витрачається на виконання роботи в процесі ізотермічного розширення моля ідеального газу при температурі Т₁ від об’єму V₁ до V₂,

(6)

2. “2-3” - адіабатне розширення. Кількість теплоти, отриману від нагрівача, можна віддати холодильнику, якщо привести у тепловий контакт з ним робоче тіло. Але така теплопередача не буде супроводжуватись виконанням корисної роботи. Тому робоче тіло ізолюють від нагрівника і дають йому можливість адіабатно розширитись і виконати додаткову корисну роботу. Оскільки Q₂₃ = 0, то робота тіла А₂₃ виконується за рахунок внутрішньої енергії; при цьому його температура зменшується від температури нагрівника Т₁ до температури холодильника T₂. На практиці охолодження проводиться до величини T₂, яка в незначній мірі перевищує температуру холодильника. Об’єм, до якого розширюється газ, можна знайти з допомогою рівняння адіабати . Робота А₂₃ рівна

. (7)

На цьому закінчується перша половина циклу, під час якої тіло виконує корисну роботу за рахунок отриманої від нагрівника теплоти. Тепер тіло потрібно повернути у вихідний стан з початковими тиском і температурою. Цей перехід проводиться також в два етапи.

3. “3-4” - ізотермічне стискування. Робоче тіло, приведене в контакт з холодильником, ізотермічно стискується зовнішніми силами при температурі холодильника T₂ від об’єму V₃ до V₄ . При цьому над газом виконується робота

. (8)

Q^(-) – кількість теплоти, що виділяється робочим тілом при його стискуванні відводиться до холодильника.

4. “4-1” – адіабатне стискування. Робоче тіло ізолюється від холодильника і з адіабатно квазістатично стискується до початкових об’єму V₁ та тиску p₁, при яких температура тіла рівна температурі нагрівача Т₁. Робота стиснення

(9)

Цикл завершений. На всіх стадіях кругового циклу Карно відсутні контакти двох тіл з різними температурами, тому виключені необоротні процеси теплопровідності і цикл буде оборотнім.

Легко підрахувати загальну роботу, виконану одним молем ідеального газу на протязі одного циклу:

. (10)

Враховуємо, що для адіабат

. (11)

Звідки випливає, що , і для (10) можна записати

. (12)

Оскільки Т₁>T₂, то і А>0; як потрібно було очікувати, А = Q⁽⁺⁾+Q^(-) і в роботу перетворюється лише частина енергії, що отримується від нагрівника.

ККД оборотного циклу Карно

(13)

Зробимо висновки:

В циклі Карно кількість теплоти Q⁽⁺⁾, отриману від нагрівника, неможливо повністю перетворити в роботу. Частина теплоти Q⁽⁺⁾ віддається холодильнику.

1. ККД циклу Карно не залежить ані від роду робочого тіла, ані від конструкції машини і визначається лише температурами нагрівача T₁ і холодильника T₂. Це твердження має назву першої теореми Карно.

ККД машини, яка працює за оборотнім циклом Карно, тим більший, чим більша різниця між T₂ і T₁. Чим нижча температура холодильника Т₂ при даній температурі теплового резервуару T₁, тим вище ККД циклу Карно. Однак цикл Карно з температурою T₂ = 0 К реалізувати неможливо, оскільки це протирічило б другому началу термодинаміки.

Але з цього не випливає, що 0 К недосяжний (це ствердження складає зміст третього закону термодинаміки), просто цикл Карно з температурою 0 К неможливий. Не можна використовувати цикл Карно для аналізу процесів при .

2. Цикл Карно був розглянутий таким чином, що в ньому виключалися необоротні процеси теплопровідності (тобто передачі теплоти без виконання роботи), при цьому були забезпечені умови отримання максимальної роботи. Тому при заданих значеннях T₁ і T₂ теплова машина, що працює за необоротнім циклом, не може мати ККД більший, ніж у машини, працюючої за оборотнім циклом Карно при тих самих значеннях T₁ і T₂. Це твердження називають другою теоремою Карно.

Ця теорема дає верхню границю ККД теплової машини. Машин, яки б працювали за циклом Карно не існує, але завжди ККД машини порівнюють з ККД циклу Карно. Приклад:

Розглянемо парову машину. Нехай максимальна температура пари в котлі , температура холодильника . В абсолютній шкалі ,

.

Реально ККД парових машин менший.

3. З отриманих формул (6) і (8) можна отримати рівняння Клаузіса:

 (14)

Величина називається приведеною кількістю теплоти і чисельно дорівнює кількості теплоти Q, яка отримується системою при абсолютній температурі Т, поділеної на цю температуру. Читається рівняння (14) так: сума приведених теплот для оборотного циклу Карно дорівнює нулеві.